Để tìm vị trí của điểm C sao cho tổng \( AB + BD \) nhỏ nhất, ta sẽ phân tích bài toán như sau:

1. **Xác định các điểm**:
- Đường tròn \((O)\) có đường kính \(AB\), kéo dài từ A đến B, với O là trung điểm của AB.
- Tiếp tuyến tại A của đường tròn là đường thẳng chứa điểm C.
- Từ \(O\), kẻ đường thẳng vuông góc với \(OC\) cắt tiếp tuyến tại điểm D.

2. **Đặc điểm hình học**:
- Dây AB là một đường thẳng đi qua trung điểm O.
- Điểm C có thể di chuyển trên tiếp tuyến tại A.
- Đường thẳng DO vuông góc với OC nên DO là chiều cao từ O xuống đường thẳng AC.

3. **Tính toán tổng**:
- Tổng \(AB + BD\) cần phải được tính toán. Để giảm tổng này, ta chú ý đến hình học của bài toán.

4. **Điều kiện tối ưu**:
- Như trong bài toán hình học tối ưu, tổng \( AB + BD \) sẽ nhỏ nhất khi điểm C được đặt sao cho đoạn thẳng OC cắt đường tròn tại một điểm O.
- Khi đó, vị trí C nên thỏa mãn điều kiện tạo thành góc vuông với điểm O. Điều này xảy ra khi C được đặt thẳng đứng trên điểm A theo phương thẳng đứng.

5. **Kết luận**:
- Để tổng \( AB + BD \) nhỏ nhất, điểm C nên được đặt tại vị trí mà OC vuông góc với AB tức là điểm C phải nằm trên đường thẳng đi qua A và O tạo với đường kính AB (quang đường) hình chữ nhật.
- Cụ thể, có thể đặt C sao cho OA vuông góc OC và C nằm trên đường thẳng vuông góc với AB.

Khi C cố định vị trí của mình theo nguyện vọng của bài toán (chẳng hạn đẩy xa out), tổng AB + BD sẽ tối thiểu.