Để giải bài toán, ta cần phân tích mối quan hệ giữa các điểm A, B, C, D và O trong bài toán.

1. **Xác định hình học**:
- Giả sử O là tâm của đường tròn và A, B là hai điểm trên đường tròn sao cho AB là đường kính của đường tròn, tức là A và B đối xứng nhau qua O.
- Tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt đường thẳng OC (vẽ từ O qua điểm C) tại điểm D.

2. **Các đại lượng cần xem xét**:
- Đoạn AB có độ dài bằng đường kính của đường tròn, hay bằng 2r khi đường tròn có bán kính r.
- Đoạn BD là đoạn thẳng từ B đến D trên tiếp tuyến, mà độ dài của đoạn này phụ thuộc vào vị trí của điểm C.

3. **Mục tiêu**:
- Tìm vị trí của điểm C sao cho tổng \( AB + BD \) là nhỏ nhất. Chúng ta biết \( AB = 2r \) cố định. Vậy chúng ta sẽ chú ý vào \( BD \).

4. **Phân tích điều kiện tổng AB + BD nhỏ nhất**:
- Ta có thể sử dụng hình học để tối ưu hóa vị trí của C. Gọi H là hình chiếu của B trên OC. Ta có:
- \( BD = BH + HD = BH + HA \) (vì D nằm trên tiếp tuyến tại A).
- Gọi \( b \) là góc \( OCB \). Ta có thể sử dụng định lý sin hoặc một số tính chất hình học tương tự để tìm tổng BD trong điều kiện tối ưu.
- Khi C di chuyển trong không gian, BD sẽ thay đổi, và ta cần tìm cách để tổng BD có thể đạt giá trị tối thiểu.

5. **Kết luận**:
- Ta sẽ thấy khi C di chuyển về phía A, chiều dài đoạn BD sẽ giảm xuống và đạt giá trị cực tiểu khi C nằm trên đường thẳng OA trong khoảng từ O đến A. Tức là khi C nằm trên đường nối O và A, trong trường hợp này, vị trí C = A sẽ làm cho tổng \( AB + BD = 2r + 0 = 2r \) là nhỏ nhất.
- Vậy C nên được đặt ở vị trí gần điểm A, trên đường nối OA.

Do đó, vị trí tối ưu của điểm C để tổng \( AB + BD \) nhỏ nhất là khi C nằm trên đường thẳng OA.