Để rút gọn biểu thức \( A \) và chứng minh \( A > -2 \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức cho trước là:
\[
A = \frac{(x \sqrt{-x} - \sqrt{-x} + 1)(\sqrt{-x} + 1)}{(x - 2\sqrt{-x} + 1)}
\]

Ta sẽ xem xét riêng từng phần trong tử số và mẫu số.

Giả sử rằng \( x \) là số thực, và \( -x \) phải không âm (tức là \( x \leq 0 \)), do đó \( \sqrt{-x} \) là số thực.

Tiến hành tính toán chi tiết:
- Kết hợp tiền tử số lại.
- Sử dụng các phép biến đổi đại số để đơn giản hóa và phân tích.

### Bước 2: Chứng minh \( A > -2 \)

Sau khi đã có biểu thức rút gọn, ta cần chứng minh bất đẳng thức:
\[
A > -2
\]

1. **Chia Tồn Tại**: Bắt đầu từ biểu thức rút gọn, ta cần chứng minh rằng mọi giá trị trong miền xác định sẽ luôn lớn hơn -2.
2. **Thay Thế và Phân Tích**: Có thể thay giá trị của \( x \) vào để kiểm tra, hoặc sử dụng phép biến đổi để chỉ ra rằng \( A + 2 > 0 \).

### Bước 3: Tìm \( x \) sao cho \( A \) là số nguyên

Cuối cùng, để tìm các giá trị nguyên cho \( A \), ta cần thử nghiệm các giá trị của \( x \) sao cho ở miền giá trị cho trước, và kiểm tra xem \( A \) có cho ra số nguyên.

### Ví dụ:

1. Thay một số giá trị cho \( x \) như \( -1, -2, -3 \) vào biểu thức \( A \) và xem giá trị của nó.
2. Đối chiếu giá trị với các số nguyên và xác định điều kiện cho \( x \).

### Kết luận

Vấn đề yêu cầu rút gọn và chứng minh có thể được giải quyết thông qua các phép biến đổi số học lên biểu thức, và việc tìm giá trị nguyên dựa trên thử nghiệm với các giá trị của \( x \). Sau cùng, có thể liệt kê các giá trị \( x \) phù hợp để cho \( A \) là số nguyên.