1) Để tính C trong tam giác ABC, sử dụng tính chất của tổng ba góc trong một tam giác:
\[
C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 30^\circ - 110^\circ = 40^\circ.
\]

2) Trong tam giác ABC có A = 30°, B = 110°, C = 40° và tam giác này là tam giác cân tại A.

a) Ta chứng minh tam giác ABM = tam giác ACM:
- Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A nên AB = AC.
- M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
- Góc A là chung cho hai tam giác ABM và ACM.
- Suy ra, theo tiêu chí "Cạnh - Cạnh - Cạnh", ta có:
\[
AB = AC, \quad BM = MC, \quad \angle A = \angle A.
\]
Do đó, tam giác ABM = tam giác ACM (theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh).

b) Đường thẳng qua A và song song với BC cắt đường thẳng qua B và song song với AC tại K.

Xét hai tam giác AKM và BMC:
- Từ giả thiết, AK // BC và BM // AC:
\[
\angle AKM = \angle BMC \quad \text{(góc đồng vị)}
\]
- Gọi AM là một đường trung tuyến trong tam giác ABC (M là trung điểm của BC):
- Do đó, chúng ta có:
\[
ABM \sim ACM \quad \text{(hai tam giác ABM và ACM đồng dạng)}
\]
- Theo tỉ lệ giữa các cạnh trong hai tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AK}{AM} = \frac{BM}{MC}.
\]
- Vì M là trung điểm của BC nên \( BM = MC \).
- Suy ra:
\[
AK = 2 \cdot MC.
\]
Như vậy, \( AK = 2 \cdot MC \).

Kết luận: Đã chứng minh được kết quả cần chứng minh.