Cho hình vuông ABCD hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của OB và OD

Để chứng minh và giải bài toán về tứ giác \(AMCN\) trong hình vuông \(ABCD\) với các đường chéo \(AC\) và \(BD\), ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành

1. **Xác định các điểm trong hình vuông**:
- \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là các đỉnh của hình vuông.
- \(O\) là giao điểm của các đường chéo \(AC\) và \(BD\).
- \(M\) là trung điểm của đoạn \(OB\).
- \(N\) là trung điểm của đoạn \(OD\).

2. **Chứng minh \(AM \parallel CN\) và \(AN \parallel MC\)**:
- Ta biết rằng trong hình vuông, các đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) cho nên \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).
- Vì \(M\) là trung điểm của \(OB\) và \(N\) là trung điểm của \(OD\), ta có:
\[
AM + MC = AO + OC
\]
và
\[
AN + NC = AO + OC
\]
- Do đó, suy ra \(AM \parallel CN\) và \(AN \parallel MC\) (theo định nghĩa hình bình hành, hai cặp cạnh đối song song).

3. **Kết luận**:
- Với \(AM \parallel CN\) và \(AN \parallel MC\), tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành.

### b) Tứ giác \(AMCN\) có phải là hình thoi không? Vì sao?

Tứ giác \(AMCN\) là hình thoi nếu tất cả các cạnh của nó đều bằng nhau. Theo định nghĩa, một hình bình hành có thể là hình thoi nếu hai cạnh bên phải bằng nhau, có nghĩa là:
\[
AM = AN \quad \text{và} \quad MC = CN.
\]

Do \(M\) và \(N\) là trung điểm, và các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) nằm đều ở các đỉnh của hình vuông nên không thể xác định \(AM\) và \(AN\) đều nhau mà không có số liệu cụ thể.
Do đó, cần một số thông tin thêm về vị trí chính xác của điểm \(A\) so với các điểm \(M\) và \(N\) để xác định chính xác việc \(AM = AN\).

### c) Biết \(AC = 8 \text{ cm}\), hãy tính diện tích tứ giác \(AMCN\).

Diện tích của tứ giác bình hành được tính bằng:
\[
\text{Diện tích} = \text{Cạnh} \times \text{Chiều cao}.
\]
Trong trường hợp này, chiều cao có thể được xác định bằng chiều cao từ \(M\) xuống thẳng \(AC\) (hoặc từ \(N\) xuống thẳng \(AC\)).

1. Diện tích hình vuông \(ABCD\) là \(\frac{AC^2}{2}\) (do \(AC\) là đường chéo).
\[
\text{Diện tích của hình vuông } ABCD = \frac{(8 \text{ cm})^2}{2} = \frac{64}{2} = 32 \text{ cm}^2.
\]

2. Diện tích của tứ giác \(AMCN\) tương đối với hình vuông thì tứ giác \(AMCN\) có diện tích bằng một nửa của hình vuông do \(M\) và \(N\) là trung điểm:
\[
\text{Diện tích của } AMCN = \frac{1}{2} \times 32 \text{ cm}^2 = 16 \text{ cm}^2.
\]

Vậy diện tích của tứ giác \(AMCN\) là \(16 \text{ cm}^2\).