Để giải bài toán về hình chữ nhật ABCD và các điểm liên quan đến nó, ta sẽ lần lượt xem xét từng phần.

### a) Tứ giác ABIC là hình gì? Vì sao?

Tứ giác ABIC có thể được chứng minh là hình bình hành.

**Chứng minh**:

- Trong tứ giác ABIC, ta có:
- AB // IC (vì AB là cạnh của hình chữ nhật và CI = CD theo giả thiết).
- AI // BC (vì AI là tia tiếp tục từ D sang I, và BC là cạnh của hình chữ nhật).

Do đó, AB || IC và AI || BC, nghĩa là tứ giác ABIC là hình bình hành.

### b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của BI. Chứng minh tứ giác BOCM là hình thoi.

**Chứng minh**:

- Để chứng minh BOCM là hình thoi, ta cần chứng minh hai đường chéo BO và CM bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm.

1. Tính toán vị trí của các điểm:
- Gọi A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b), I(0, b + b) (vì CD = CI).
- Vị trí trung điểm M của BI là:
\[
M = \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{0 + (b + b)}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, b + \frac{b}{2} \right)
\]

2. Giao điểm O của AC và BD:
- Viết phương trình:
- AC: y = \frac{b}{a}x
- BD: y = -\frac{b}{a}(x - a)

Giải hệ phương trình này để tìm tọa độ O. Sau khi tìm thấy O, hãy chứng minh rằng BO = CM.

### c) Gọi S là giao điểm của DA và IB, K là giao điểm của BD và AI. Chứng minh S, K, C thẳng hàng.

**Chứng minh**:

- Để chứng minh S, K, C thẳng hàng, ta sẽ xác định tọa độ của các điểm S và K tương tự như ở phần trên.

1. Xác định điểm S:
- DA có phương trình x = 0 (trục y),
- IB có phương trình y = -\frac{b+ b}{d} x + (b + b).

Giải hệ phương trình tương ứng để tìm tọa độ S.

2. Xác định điểm K:
- Cũng cần giải phương trình của BD và AI tương tự tìm K.

3. Sau khi có tọa độ của S, K, C, kiểm tra xem liệu ba điểm này có cùng thuộc một đường thẳng không (sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba điểm).

### d) Tìm điều kiện của hình chữ nhật ABCD để hình thoi BOCM là hình vuông.

**Điều kiện**:

- Để hình thoi BOCM là hình vuông cần hai điều kiện:
1. BOCM có độ dài 4 cạnh bằng nhau.
2. Đường chéo BO phải vuông góc với đường chéo CM.

Nghiên cứu chiều dài các cạnh và khoảng cách để tìm điều kiện cho chiều dài a và b của hình chữ nhật ABCD.

Khi bài toán hoàn thành và xác định điều kiện, các câu hỏi sẽ được minh họa đúng đắn và chính xác.