Đây là một bài toán hình học khá hay, liên quan đến tam giác cân, đường cao, trung điểm và các loại tứ giác đặc biệt. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần:

a) Tính AC:

• Vì tam giác ABC cân tại A và AM là đường cao nên AM cũng là đường trung tuyến. Do đó, M là trung điểm của BC.

• Tam giác AMC vuông tại M, áp dụng định lý Pytago ta có:

  AC² = AM² + MC² AC² = 16² + 12² AC² = 256 + 144 AC² = 400 AC = √400 = 20 cm

Vậy AC = 20 cm.

b) Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao?

• Gọi Q là trung điểm của AC. Vì M là trung điểm của BC nên MQ là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra MQ // AB và MQ = 1/2 AB.

• Theo đề bài, QM = QK.

• Xét tứ giác AMCK:

  • Q là trung điểm của AC (theo giả thiết).
  • Q cũng là trung điểm của MK (vì QM = QK).

  Do đó, hai đường chéo AC và MK cắt nhau tại trung điểm Q của mỗi đường. Vậy tứ giác AMCK là hình bình hành.

• Mà góc AMC = 90° (AM là đường cao).

  Vậy hình bình hành AMCK có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

c) Chứng minh AB = MK:

• Như đã chứng minh ở câu b, MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên MQ = 1/2 AB.

• Mà MK = 2MQ (vì Q là trung điểm của MK).

  Suy ra MK = 2 * (1/2 AB) = AB.

Vậy AB = MK.

d) Chứng minh tứ giác APMQ là hình thoi:

• P là trung điểm của AB, Q là trung điểm của AC nên PQ là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó PQ // BC và PQ = 1/2 BC.

• Vì M là trung điểm của BC nên MC = 1/2 BC. Suy ra PQ = MC.

• Vì MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên MQ // BC. Mà AM vuông góc với BC nên AM vuông góc với MQ. Vậy góc AMQ = 90°.

• Xét tứ giác APMQ:

  • PQ // AM (vì cả hai cùng vuông góc với BC)
  • MQ // AP (vì MQ // AB)

  Vậy tứ giác APMQ là hình bình hành.

• Ta đã chứng minh được PQ = MC. Mà MC = AM (trong hình chữ nhật AMCK). Suy ra PQ = AM.

  Hình bình hành APMQ có hai cạnh kề AM và PQ bằng nhau nên nó là hình thoi.

e) Tam giác ABC cần có điều kiện gì để tứ giác AMCK là hình vuông?

Hình chữ nhật AMCK là hình vuông khi và chỉ khi hai cạnh kề của nó bằng nhau, tức là AM = MC.

• Ta có AM = 16 cm và MC = 12 cm. Để AMCK là hình vuông thì AM phải bằng MC.

• Điều này có nghĩa là tam giác AMC phải là tam giác vuông cân tại M.

• Mà AM là đường cao của tam giác ABC nên nếu tam giác AMC vuông cân tại M thì tam giác ABC phải vuông cân tại A (AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến trong tam giác cân nên tam giác cân đó cũng là tam giác vuông).

Vậy, tam giác ABC cần là tam giác vuông cân tại A thì tứ giác AMCK là hình vuông. Khi đó AM=MC=1/2BC
Đúng thì cho xin đỉm ah cmon>M<