Tìm giá trị nhỏ nhất của B=5x^2+y^2+2xy-12x-18

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( B = 5x^2 + y^2 + 2xy - 12x - 18 \), chúng ta sẽ áp dụng phương pháp khai triển và hoàn thành bình phương.

1. **Khai triển lại biểu thức**:

Bắt đầu với biểu thức:
\[
B = 5x^2 + 2xy + y^2 - 12x - 18
\]

Chú ý rằng \( 2xy + y^2 \) có thể viết lại là \( (y + x)^2 - x^2 \). Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta sẽ giữ nguyên dạng và tập trung vào việc hoàn thành bình phương cho \( x \).

2. **Nhóm các số hạng liên quan đến \( x \)**:

Nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \):
\[
B = 5x^2 + (2y - 12)x + y^2 - 18
\]

3. **Hoàn thành bình phương cho \( x \)**:

Coi \( B \) như là một hàm bậc hai đối với \( x \):
\[
B = 5\left(x^2 + \frac{2y-12}{5}x\right) + y^2 - 18
\]

Bây giờ, ta hoàn thành bình phương cho phần trong dấu ngoặc:
\[
x^2 + \frac{2y - 12}{5}x = \left(x + \frac{2y - 12}{10}\right)^2 - \left(\frac{2y - 12}{10}\right)^2
\]

Thay vào biểu thức \( B \):
\[
B = 5\left[\left(x + \frac{2y - 12}{10}\right)^2 - \left(\frac{2y - 12}{10}\right)^2\right] + y^2 - 18
\]
\[
= 5\left(x + \frac{2y - 12}{10}\right)^2 - \frac{2(y - 6)^2}{20} + y^2 - 18
\]
\[
= 5\left(x + \frac{2y - 12}{10}\right)^2 - \frac{(y - 6)^2}{4} - 18
\]

4. **Tìm giá trị nhỏ nhất**:

Để \( B \) đạt giá trị nhỏ nhất, phần hoàn thành bình phương phải bằng 0:
- \( 5\left(x + \frac{2y - 12}{10}\right)^2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2y - 12}{10} \)
- \(\frac{(y - 6)^2}{4} = 0 \Rightarrow y = 6\)

Khi \( y = 6 \):
\[
B = 0 - \frac{(6 - 6)^2}{4} - 18 = -18
\]

5. **Giá trị nhỏ nhất**:

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( B \) là:
\[
\boxed{-18}
\]