Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

### Giả thiết:
Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), với \( AB \perp AC \). Kẻ \( BD \) là tia phân giác của góc \( ABC \) (với \( D \) thuộc \( AC \)). Trên cạnh \( BC \, (B) \) lấy điểm \( E \) sao cho \( BE = BA \).

### Kết luận:

#### a) Chứng minh diện tích \( \Delta ABD = \Delta ABE \):

- Ta có \( BE = BA \), nghĩa là \( E \) nằm trên vòng tròn có tâm \( B \) và bán kính là \( BA \).
- Diện tích tam giác \( \Delta ABD \) được tính bằng công thức:
\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD
\]
- Diện tích tam giác \( \Delta ABE \) cũng được tính tương tự:
\[
S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE
\]
- Từ \( AE = AD \) (vì \( D \) nằm trên tia phân giác), ta có \( S_{ABD} = S_{ABE} \).

#### b) Chứng minh \( DE = AD \) và \( DE \perp BC \):

- Theo giả thiết, \( AD = AE \) (vì E là điểm trên vòng tròn có tâm B).
- Ta chứng minh \( DE \perp BC \) bằng cách sử dụng tính chất của tia phân giác. Tia phân giác chia góc \( ABC \) thành hai góc bằng nhau. Từ đó, ba điểm \( D, E, A \) tạo thành các góc vuông tại \( D \).

#### c) Chứng minh phần \( BD \) là đường trung trực của đoạn \( AE \):

- Bởi vì \( BE = BA \) và \( AD = AE \), nên tổng quát có thể nói rằng \( BD \) chia thành hai đoạn \( AB \) và \( AE \) có độ dài bằng nhau, từ đó suy ra \( BD \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( AE \).

#### d) Trên tia đối của tia \( AB \), lấy điểm \( F \) sao cho \( AF = CE \). Chứng minh ba điểm \( F, D, E \) thẳng hàng:

- Để chứng minh ba điểm \( F, D, E \) thẳng hàng, ta có thể sử dụng hình chiếu và các tính chất của tam giác vuông:
1. Tam giác \( AEF \) có \( AF = CE \) sẽ tạo thành một tam giác cân.
2. Tia phân giác \( BD \) có chiều dài, nên nó sẽ tiếp tục kéo dài đến điểm \( F \) sao cho \( F \) sẽ nằm trên đường thẳng nối giữa \( D \) và \( E \).

### Kết luận tổng quát:
Như vậy, thông qua các bước chứng minh trên, ta đã khẳng định được các mệnh đề về độ dài của các đoạn thẳng, các tính chất của đường phân giác và tính chất thẳng hàng của ba điểm \( F, D, E \).