Để chứng minh rằng FD đi qua trung điểm của CZ trong tam giác nhọn ABC với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Xác định các điểm**: Trong tam giác ABC, H là trực tâm. Các đường cao AE, BF và CF cắt nhau tại H và cắt các cạnh ABC lần lượt tại E và F.

2. **Vẽ đường thẳng song song**: Theo giả thiết, vẽ đường thẳng song song với EF qua điểm C cắt AB tại Z.

3. **Sử dụng tính chất của hình thang**: Do CZ là đường thẳng song song với EF, nên ta có △CZF ~ △CEF (suy ra tính chất tương tự của hai tam giác này).

4. **Tính tỉ lệ**: Theo tỉ lệ trong tam giác, ta có:
\[
\frac{CZ}{CE} = \frac{CF}{CE}
\]
Điều này biểu thị rằng điểm Z chia đoạn CE thành hai phần tỉ lệ.

5. **Tìm trung điểm M của CZ**: Đặt M là trung điểm của CZ. Khi đó, theo định lý trung điểm, tổng hợp các tỉ lệ sẽ dẫn đến kết quả rằng bốn điểm H, F, E, C phải nằm trên một đường thẳng.

6. **Chứng minh rằng FD đi qua M**: Do EC và EF song song, nên điểm M sẽ thỏa mãn thuộc tính tốc độ của tỷ lệ cung cấp bởi F và ED qua C, dẫn đến FD đi qua M.

Kết luận: FD luôn sẽ đi qua trung điểm của đoạn CZ, qua các lập luận hình học và tính chất của tỉ lệ trong tam giác.