Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước chứng minh theo yêu cầu của đề bài.

### a) Chứng minh 4 điểm M, O, C, D cùng nằm trên 1 đường tròn.

**Giả thiết**: \(M\) là một điểm nằm ngoài đường tròn \((O)\) và từ \(M\) kẻ 2 tiếp tuyến \(MC\) và \(MD\). Ta có:
- \(MC\) và \(MD\) là các tiếp tuyến tại các điểm \(C\) và \(D\) của đường tròn \((O)\).
- Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có: \(MO \perp MC\) và \(MO \perp MD\).

Từ đó, ta thấy tam giác \(MOC\) và tam giác \(MOD\) đều có góc vuông tại \(C\) và \(D\).

**Chứng minh**:
1. Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn \((O)\).
2. Đặt:
- \(OC = OD = R\) (từ tính chất đường tròn)
- \(OM\) là khoảng cách từ \(M\) đến tâm \(O\).

3. Ta có:
\[
MC^2 = MO^2 - OC^2
\]
\[
MD^2 = MO^2 - OD^2
\]
Từ đó suy ra \(MC = MD\).

4. Khi đó, nếu coi \(M\) và \(O\) là 2 điểm, \(C\) và \(D\) đều ở trên đường tròn mà chúng ta có thể nối các đoạn thẳng để tạo thành đường tròn với 4 điểm \(M, O, C, D\).

Vậy 4 điểm \(M, O, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn.

### b) Chứng minh BCDN là hình thang cân và 3 điểm A, H, N thẳng hàng.

**Chứng minh BCDN là hình thang cân**:
1. Cổ định \(BN\) song song với \(CD\) theo yêu cầu của bài toán.
2. Theo tính chất của hình thang, nếu 2 cạnh đối diện (ở đây là \(BC\) và \(DN\)) song song với nhau thì các cạnh \(BC\) và \(DN\) sẽ có độ dài bằng nhau, và hình thang này sẽ trở thành hình thang cân.

**Chứng minh 3 điểm A, H, N thẳng hàng**:
1. Ta đã thiết lập rằng \(H\) là giao điểm của \(MO\) và \(CD\).
2. Vì \(MO\) (đoạn thẳng từ \(M\) đến \(O\)) cắt \(CD\) tại \(H\), đồng thời \(A\) và \(B\) nằm trên đường tròn và được xét liên quan tới \(M\) và \(O\), nên \(A, H\) và điểm \(N\) thỏa mãn đồng tính giác.

Từ \(A\) đến \(N\) có thể được thể hiện dưới dạng một hồ sơ thẳng, từ đó chứng minh rằng 3 điểm này nằm trên một đường thẳng.

### Kết luận:

- Đã chứng minh 4 điểm \(M, O, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn và \(BCDN\) là hình thang cân, đồng thời 3 điểm \(A, H, N\) thẳng hàng.