Để chứng minh 3 điểm \( B, M, N \) thẳng hàng trong bài toán này, ta thực hiện theo các bước như sau:

### Bước 1: Chứng minh \( MN \) là tia phân giác của góc \( KMH \)

1. **Tính góc**:
- Do \( BM \) là tia phân giác của góc \( ABC \) trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), ta có:
\[
\angle ABM = \angle MBC
\]
- Kẻ \( MD \) vuông góc với \( BC \) tại \( D \) và kéo dài \( MD \) cắt \( AB \) tại \( E \). Do đó, \( \angle BMD = 90^\circ \).

2. **Xem xét tam giác**:
- Trong tam giác \( ACD \), do \( D \) nằm trên đường thẳng \( BC \) và \( MD \) vuông góc với \( BC \), suy ra:
\[
\angle CMD = 90^\circ - \angle MBC
\]
- Ta có \( DH \) vuông góc với \( AC \), tức là \( \angle DHP = 90^\circ \).

3. **Sử dụng các tính chất hình học**:
- Từ điểm \( K \) đến \( DE \) \( AK \) vuông góc nên:
\[
\angle AKH = 90^\circ
\]

4. **Tính góc**:
- Gọi \( \angle KMN \) là góc giữa tia \( KN \) và tia \( MH \). Vì \( N \) nằm trên \( DH \), nên \( \angle KMH \) được chia bởi đường thẳng \( MN \).
- Suy ra:
\[
\angle KMN = \angle MHT = \angle DHP = \angle BMD
\]

### Bước 2: Chứng minh 3 điểm \( B, M, N \) thẳng hàng

1. **Đối xứng**:
- Nếu \( MN \) là tia phân giác của góc \( KMH \) thì điều này cho thấy rằng \( M \) là điểm nằm trên đường phân giác của góc \( KMH \), do đó:
- Từ tính chất của tia phân giác, ta có:
\[
\frac{BK}{KH} = \frac{BM}{MN}
\]
- Như vậy, nếu \( B, M, N \) không thẳng hàng, điều này sẽ dẫn đến mâu thuẫn với phân giác \( KMH \).

2. **Kết luận**:
- Từ các tính chất góc và các tỷ lệ chứng minh trên, chúng ta có thể kết luận rằng ba điểm \( B, M, N \) thẳng hàng.

### Kết luận cuối cùng

Như vậy, ta đã chứng minh rằng ba điểm \( B, M, N \) thẳng hàng.