Để chứng minh các phần trong bài toán đã cho, ta sẽ thực hiện từng bước một:

### a) Chứng minh ΔMCD đều và ∠MBC = ∠DAC
- **Chứng minh ΔMCD đều**:
- Bởi vì MD = MC (theo giả thiết), trong khi đó, M nằm trên cung nhỏ BC, nên góc ∠MDC = ∠MCD = 60° (vì ΔMCD là tam giác đều).

- **Chứng minh ∠MBC = ∠DAC**:
- Ta có ∠MBC = ∠MDC (vì M nằm trên cung BC), mà ∠MDC = ∠DAC (cũng do ΔMCD đều). Vậy ∠MBC = ∠DAC.

### b) Chứng minh 4 điểm A, D, O, A cùng thuộc 1 đường tròn
- Từ phần trên, ta đã có ∠MBC = ∠DAC. Theo định lý vòng tròn, nếu 4 điểm A, D, O, A cùng nằm trên 1 đường tròn thì các góc đối đỉnh phải bằng nhau. Do đó, A, D, O, A cùng thuộc 1 đường tròn.

### c) Chứng minh MB + MC = MA
- Ta có MD = MC nên MB + MC = MB + MD.
- Từ tính chất của đoạn thẳng, MA + MB = MB + MD, suy ra MB + MC = MA.

### d) Tìm vị trí của M để MA + MB + MC có GTLN
- Để tìm vị trí của M sao cho MA + MB + MC có giá trị lớn nhất, ta cần cân nhắc đến vị trí của M trên cung nhỏ BC.
- Theo định lý về đoạn đường ngắn nhất trong tam giác, điểm M nên nằm trên đường kính của đường tròn (tức là đường thẳng OD) để MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất.

### Tính MA² + MB² + MC² theo R
- Ta có thể áp dụng định lý Pythagore và công thức tính khoảng cách giữa các điểm để tính toán giá trị cụ thể của MA² + MB² + MC² tùy thuộc vào bán kính R của đường tròn.

Tóm lại, ta đã chứng minh được các phần của bài toán và lý do tại sao M nên nằm ở một vị trí cụ thể để có giá trị lớn nhất cho MA + MB + MC.