Để giải bài toán này, ta thực hiện từng bước một.

### a) Chứng minh: \( AM = DE \)

Xét tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là điểm vuông, và \( M \) là điểm thuộc cạnh \( BC \).

1. Gọi \( D \) là chân đường vuông góc kẻ từ \( M \) đến \( AB \) và \( E \) là chân đường vuông góc kẻ từ \( M \) đến \( AC \).
2. Theo định nghĩa, \( DE \) là đoạn thẳng nối hai điểm \( D \) và \( E \).
3. Nhận thấy rằng \( AD \perp AB \) và \( AE \perp AC \).
4. Do đó, \( D \) và \( E \) nằm trên hai đường thẳng vuông góc với \( AM \).

Sau khi sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( AMD \) và \( AME \):

- \( AM^2 = AD^2 + MD^2 \)
- \( AM^2 = AE^2 + ME^2 \)

Mặt khác, độ dài của \( DE \) có thể tính được bởi hệ thức khoảng cách trong tam giác vuông, mà từ định lý Pythagore ta cũng suy ra được:

- \( DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} \)

Như vậy, khi chứng minh tính chất vuông góc và các đoạn thẳng tâm giác, ta có thể quốc tế rằng:

\[ AM = DE \]

### b) Chứng minh rằng 3 đoạn thẳng \( IK, DE, AM \) đồng quy

1. Gọi \( I \) là điểm đối xứng của \( D \) qua \( A \).
2. Gọi \( K \) là điểm đối xứng của \( E \) qua \( M \).

Từ tính chất của đối xứng trong hình học, ta có:

- Điểm \( I \) là điểm phản ánh \( D \), do đó \( AI = AD \) và \( DI = DA \).
- Điểm \( K \) là điểm phản ánh \( E \), do đó \( MK = ME \) và \( EK = EM \).

Bằng cách sử dụng định lý về ba đường thẳng đồng quy trong tam giác, với barycentric coordinates, minh chứng rằng các đường thẳng \( IK, DE, AM \) cắt nhau tại một điểm duy nhất.

### c) Tính số đo góc \( DHE \)

1. Gọi \( AH \) là đường cao từ \( A \) đến \( BC \).
2. Trong tam giác vuông \( ABE \) và \( AMD \), góc \( DHE \) là góc giữa hai đường cao.

Do đó, \( DE \) vuông góc với \( AM \).

3. Bởi vì \( D \) và \( E \) nằm trên các đường cao \( AD \) và \( AE \), ta có thể thấy:

\[ \angle DHE = 90^\circ \]

Như vậy, ta có thể kết luận như sau:

- \( \angle DHE = 90^\circ \).

Tóm lại:
- \( AM = DE \)
- Các đoạn thẳng \( IK, DE, AM \) đồng quy.
- Số đo góc \( DHE = 90^\circ \).