Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( B = 5x^2 + y^2 + 2xy - 12x - 18 \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp tìm cực trị của hàm bậc hai hai biến.

Trước tiên, chúng ta sẽ viết lại \( B \) theo dạng hàm số:

\[
B = 5x^2 + 2xy + y^2 - 12x - 18
\]

### Bước 1: Tính đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \)

1. Đạo hàm riêng theo \( x \):
\[
\frac{\partial B}{\partial x} = 10x + 2y - 12
\]

2. Đạo hàm riêng theo \( y \):
\[
\frac{\partial B}{\partial y} = 2x + 2y
\]

### Bước 2: Giải hệ phương trình đạo hàm

Để tìm điểm cực trị, ta giải hệ phương trình sau:

\[
10x + 2y - 12 = 0 \quad (1)
\]
\[
2x + 2y = 0 \quad (2)
\]

Từ (2), ta có:
\[
y = -x
\]

### Bước 3: Thay \( y = -x \) vào (1)

Thay \( y \) vào (1):
\[
10x + 2(-x) - 12 = 0
\]
\[
10x - 2x - 12 = 0
\]
\[
8x - 12 = 0
\]

Giải phương trình:
\[
8x = 12 \implies x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}
\]

Thay \( x \) vào công thức \( y = -x \):
\[
y = -\frac{3}{2}
\]

### Bước 4: Tính giá trị của \( B \)

Thay \( x = \frac{3}{2} \) và \( y = -\frac{3}{2} \) vào biểu thức \( B \):
\[
B = 5\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right) - 12\left(\frac{3}{2}\right) - 18
\]

Tính từng thành phần:
\[
5\left(\frac{3}{2}\right)^2 = 5 \cdot \frac{9}{4} = \frac{45}{4}
\]
\[
\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}
\]
\[
2\left(\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{9}{4}\right) = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}
\]
\[
-12\left(\frac{3}{2}\right) = -18
\]

Tổng hợp lại:
\[
B = \frac{45}{4} + \frac{9}{4} - \frac{18}{4} - \frac{72}{4} - \frac{72}{4}
\]
\[
B = \frac{45 + 9 - 18 - 72}{4} = \frac{-36}{4} = -9
\]

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của \( B \) là:
\[
\boxed{-9}
\]