Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = -4x^2 - 5y^2 + 8xy + 10y + 12 \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương hoặc sử dụng đạo hàm để tìm cực trị.

1. **Viết lại biểu thức**:

Ta nhóm các hạng tử theo \( x \):

\[
A = -4x^2 + 8xy + (-5y^2 + 10y + 12)
\]

Cố gắng nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \):

Ta có thể viết lại như sau:

\[
A = -4 \left( x^2 - 2xy \right) - 5y^2 + 10y + 12
\]

2. **Hoàn thành bình phương cho phần liên quan đến \( x \)**:

Để hoàn thành bình phương cho \( x^2 - 2xy \), ta có:

\[
x^2 - 2xy = (x - y)^2 - y^2
\]

Thay vào biểu thức \( A \):

\[
A = -4 \left( (x - y)^2 - y^2 \right) - 5y^2 + 10y + 12
\]

\[
A = -4(x - y)^2 + 4y^2 - 5y^2 + 10y + 12
\]

\[
A = -4(x - y)^2 - y^2 + 10y + 12
\]

3. **Tìm cực trị cho phần liên quan đến \( y \)**:

Ta có biểu thức bậc hai theo \( y \):

\[
-y^2 + 10y + 12
\]

Để tìm giá trị cực đại, sử dụng công thức tìm cực trị của bậc hai:

\[
y = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2(-1)} = 5
\]

4. **Thay giá trị \( y \) vào biểu thức để tìm giá trị của \( A \)**:

Thay \( y = 5 \) vào phần \( A \):

\[
A = -4(x - 5)^2 - (5)^2 + 10(5) + 12
\]

Tính giá trị:

\[
A = -4(x - 5)^2 - 25 + 50 + 12
\]

\[
= -4(x - 5)^2 + 37
\]

Để \( A \) đạt giá trị lớn nhất, \( (x - 5)^2 \) phải bằng 0, tức là \( x = 5 \).

5. **Giá trị lớn nhất của \( A \)**:

Khi \( x = 5 \) và \( y = 5 \), ta thay vào:

\[
A = 37
\]

Vậy, giá trị lớn nhất của \( A \) là **37**.