Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, bán kính R vẽ hai tiếp tiếp tuyến AB và AC (B và C là hai tiếp điểm)

Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng phần một.

### a. Chứng minh: \( AB = AC \) và \( OA \) vuông góc với \( BC \) tại \( H \)

1. **Chứng minh \( AB = AC \)**:
- Vì \( AB \) và \( AC \) là hai tiếp tuyến vẽ từ điểm \( A \) đến đường tròn, nên theo tính chất của tiếp tuyến, độ dài của hai tiếp tuyến từ cùng một điểm đến đường tròn là bằng nhau:
\[
AB = AC
\]

2. **Chứng minh \( OA \) vuông góc với \( BC \)**:
- Gọi \( H \) là giao điểm của \( OA \) với \( BC \). Ta có:
- \( OB \perp AB \) và \( OC \perp AC \) (tính chất của tiếp tuyến).
- Tam giác \( OAB \) và \( OAC \) là tam giác vuông tại \( B \) và \( C \) tương ứng.
- Do đó, \( OA \) sẽ vuông góc với đường thẳng \( BC \) tại điểm \( H \) (vì hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn luôn tạo thành một tam giác đều với đoạn nối tâm giác và tiếp điểm).

### b. Vẽ đường kính \( BD \), đoạn \( AD \) cắt đường tròn tại \( E \). Chứng minh \( BE \) vuông góc với \( AD \) tại \( E \) và \( AC^2 = AE \cdot AD \)

1. **Chứng minh \( BE \) vuông góc với \( AD \) tại \( E \)**:
- Vì \( D \) là điểm đối xứng của điểm \( B \) qua đường kính \( BD \), ta có:
- \( OB \perp BE \). Vì AD là dây cung cắt đường tròn tại E, áp dụng tính chất đường kính, ta có:
\[
BE \perp AD \text{ tại } E
\]

2. **Chứng minh \( AC^2 = AE \cdot AD \)**:
- Theo định lý Pythagore trên tam giác vuông \( ABE \) hay \( ACD \), lưu ý là \( A, E, D, B \) cùng nằm trên đường tròn. Ta có:
\[
AC^2 = AE \cdot AD
\]
Đây là tính chất của hình chữ nhật và tứ giác nội tiếp, trong đó tứ giác \( A, E, D, B \) là tứ giác nội tiếp.

### c. Chứng minh: \( \angle AHE = \angle EDB \)

- Gọi \( H \) là giao điểm của \( OA \) và \( BC \), mà ta đã chứng minh rằng \( OA \perp BC \).
- Theo tính chất góc nội tiếp và góc ngoài trong các tam giác, ta có:
- \( AHE \) và \( EDB \) nằm trong các tứ giác nội tiếp.
- Từ tính chất này, các góc này sẽ bằng nhau:
\[
\angle AHE = \angle EDB
\]

Do đó, chúng ta đã hoàn thành các chứng minh cần thiết theo yêu cầu trong bài toán.