Để giải bài toán tìm các số nguyên \( x, y, z \) thỏa mãn phương trình:

\[
x^y = z - 1
\]

Chúng ta có thể sắp xếp lại phương trình như sau:

\[
z = x^y + 1
\]

Từ phương trình này, dễ dàng nhận thấy rằng \( z \) phụ thuộc vào các giá trị của \( x \) và \( y \). Để tìm các nghiệm, chúng ta sẽ xem xét một vài trường hợp cụ thể.

1. **Trường hợp \( x = 0 \)**:
- Khi \( y > 0 \): \( 0^y = 0 \) dẫn đến \( z = 0 + 1 = 1\). Nghiệm: \( (0, y, 1) \) với \( y > 0 \).
- Khi \( y = 0 \): Không xác định vì \( 0^0\) thường được coi là không xác định.
- Khi \( y < 0 \): Không có nghiệm vì không có số nguyên nào thỏa mãn.

2. **Trường hợp \( x = 1 \)**:
- Với bất kỳ giá trị nào của \( y \): \( 1^y = 1\) nên \( z = 1 + 1 = 2\). Nghiệm: \( (1, y, 2) \) với mọi \( y \).

3. **Trường hợp \( x = -1 \)**:
- Với \( y \) là số chẵn: \( (-1)^y = 1\) dẫn đến \( z = 1 + 1 = 2\). Nghiệm: \( (-1, y, 2) \) với \( y \) chẵn.
- Với \( y \) là số lẻ: \( (-1)^y = -1\) dẫn đến \( z = -1 + 1 = 0\). Nghiệm: \( (-1, y, 0) \) với \( y \) lẻ.

4. **Trường hợp \( x = 2 \)**:
- Nếu \( y = 1 \): \( 2^1 = 2 \) dẫn đến \( z = 2 + 1 = 3\). Nghiệm: \( (2, 1, 3) \).
- Nếu \( y = 2 \): \( 2^2 = 4 \) dẫn đến \( z = 4 + 1 = 5\). Nghiệm: \( (2, 2, 5) \).
- Nếu \( y = n \) với \( n > 0 \): Nghiệm tổng quát sẽ có dạng \( (2, n, 2^n + 1) \).

5. **Trường hợp \( x = -2 \)**:
- Nếu \( y \) là số chẵn: \((-2)^{2k} = 4^k\) dẫn đến \( z = 4^k + 1 \).
- Nếu \( y \) là số lẻ: \((-2)^{2k + 1} = -2(2^{2k}) \) dẫn đến \( z = -2(2^{2k}) + 1\).

6. **Trường hợp lớn hơn**: Với các giá trị khác của \( x \) (ví dụ \( x = 3, 4, 5 \)), bạn có thể làm tương tự.

Tóm lại, các nghiệm của phương trình sẽ nằm trong các trường hợp đã đề cập ở trên, và có thể tìm toán học mô tả chi tiết hơn cho các giá trị \( x > 2 \). Thực tế, nghiệm có thể không dễ tìm cho hầu hết các trường hợp lớn vì sẽ cần phải kiểm tra tính lẻ, chẵn và sự tăng trưởng của hàm mũ \( x^y \).