Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng phần a), b) và c).

### a) Chứng minh \(\triangle ABI = \triangle ACI\)
1. **Dữ liệu đã cho**: \(AB = AC\), \(I\) là trung điểm của \(BC\).
2. **Ký hiệu**: \(BI = CI\) (vì \(I\) là trung điểm).
3. **Xét hai tam giác**:
- Tam giác \(\triangle ABI\) và \(\triangle ACI\).
- Có: \(AB = AC\) (đã cho).
- Có: \(BI = CI\) (đã chứng minh).
- Có: \(AI = AI\) (cạnh chung).
4. **Áp dụng định lý đồng dạng tam giác**:
\[\triangle ABI \cong \triangle ACI\] (theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh - C.C.C).

### b) Chứng minh \(AI\) vuông góc với \(BC\)
1. Trong tam giác đều \(ABC\) (vì \(AB = AC\)), \(AI\) là đường trung tuyến.
2. **Kết luận**: Đường trung tuyến trong tam giác đều luôn vuông góc với cạnh đối diện.
3. Do đó:
\[AI \perp BC\].

### c) Trên tia đối của tia \(AI\), lấy điểm \(D\) sao cho \(ID = IA\). Chứng minh \(BD = AC\).
1. Vì \(ID = IA\), từ điểm \(D\) ta có đoạn thẳng \(ID\) và \(IA\) bằng nhau.
2. Từ \(\triangle AIC\) và \(\triangle AID\), chúng ta xét hai tam giác này:
- \(\triangle AIC \cong \triangle AID\) (theo định lý đồng dạng, vì chúng có cấu trúc giống nhau).
3. Từ đó:
\[AC = ID = BD\].
4. Kết luận:
\[BD = AC\].

### Kết thúc:
Ta đã hoàn thành chứng minh cho cả ba phần của bài toán.