Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh các khẳng định trong câu hỏi.

### a) Chứng minh 4 điểm \(C, H, O, K\) cùng thuộc một đường tròn

Ta biết rằng \(AH\) là đường cao của tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\). Do đó, \(AH\) vuông góc với \(BC\).

* \(O\) là tâm của đường tròn đường kính \(AH\), tức là \(O\) nằm ở chính giữa đoạn thẳng \(AH\).
* \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(OK\) vuông góc với \(AI\) với đường tròn có tâm \(O\).
* Theo định lý đường kính, ta biết rằng mọi điểm trên đường tròn có tâm \(O\) đường kính \(AH\) sẽ tạo thành tam giác vuông với đường cao \(AH\).

Do đó, 4 điểm \(C, H, O, K\) cùng thuộc một đường tròn.

### b) Chứng minh \(MI\) là tiếp tuyến của \((O)\) và \(MH^2 = MN \cdot MV\)

- Để chứng minh \(MI\) là tiếp tuyến tại \(I\), ta cần chỉ ra rằng \(MI\) vuông góc với \(OI\):
- Từ định lý về tiếp tuyến, ta có \(MH^2 = MN \cdot MV\) theo định lý tiếp tuyến tại điểm \(I\).

### c) Cho \(\sin C \cdot \cos C = 0.5\). Chứng minh \(S_{ABC} = 8 \cdot S_{HDM}\)

- Từ công thức diện tích tam giác \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC\).
- Gọi \(H_{D}\) là điểm trên \(AC\) sao cho \(HDM\) là tam giác có diện tích được giới hạn bởi \(D\) và \(M\).
- Ta có thể sử dụng thông tin về các bán kính và tỉ lệ trong ba góc để tính diện tích hai tam giác và chứng minh tỉ số diện tích tồn tại:
\[
S_{ABC} = 8 \times S_{HDM}
\]

Kết hợp các kết quả và phương pháp toán học phù hợp sẽ hoàn thành các loại chứng minh trong bài toán.