Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo từng phần một.

### a) Chứng minh AMHN là hình chữ nhật
- Gọi \( AB \) và \( AC \) lần lượt là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \).
- Đường cao \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- \( M \) là chân đường vuông góc từ \( H \) đến \( AB \), nghĩa là \( HM \perp AB \).
- \( N \) là chân đường vuông góc từ \( H \) đến \( AC \), nghĩa là \( HN \perp AC \).

**Chứng minh AMHN là hình chữ nhật:**
1. **Chứng minh \( AM \parallel NH \)**:
- \( AM \) vuông góc với \( AB \) (vì \( A \) nằm trên đường thẳng \( AB \)).
- \( HN \perp AC \) và \( AC \) vuông góc với \( AB \) (do tam giác vuông tại \( A \)), nên \( NH \parallel AM \).

2. **Chứng minh \( AH \parallel MN \)**:
- \( AM \perp HM \) và \( HN \perp AC \) tức là \( AH \) vuông góc với cả \( AB \) và \( AC \).
- Do đó, \( HN \parallel AM \) và \( AH \) vuông góc với hai cạnh \( AB, NH \).

3. Từ các chứng minh trên, suy ra \( AMHN \) có bốn góc vuông, do đó đó là một hình chữ nhật.

### b) Chứng minh A là trung điểm DE
- Giả sử \( D \) là điểm trên tia đối của tia \( MH \) sao cho \( M \) là trung điểm của \( DH \).
- Tương tự, \( E \) là điểm trên tia đối của tia \( NH \) sao cho \( N \) là trung điểm của \( EH \).

**Chứng minh \( A \) là trung điểm của \( DE \)**:
1. **Xét điểm \( D \)**:
- \( M \) là trung điểm của \( DH \) có nghĩa là \( DH = 2 \overline{MH} \).

2. **Xét điểm \( E \)**:
- \( N \) là trung điểm của \( EH \) có nghĩa là \( EH = 2 \overline{NH} \).

3. Xét trọng tâm:
- Bây giờ, xét vector vị trí:
- \( \overrightarrow{D} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{HM} \)
- \( \overrightarrow{E} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{HN} \)
- Tìm Điểm giữa \( D \) và \( E \):
\[
\overrightarrow{A} = \frac{\overrightarrow{D} + \overrightarrow{E}}{2}
\]
- Bởi vì mà \( M \) và \( N \) đều là trung điểm, sẽ có \( AM = \overline{MH} \) và \( AN = \overline{NH} \).

4. Kết luận:
- Vì vậy, điểm \( A \) là trung điểm của đoạn thẳng \( DE \).

Như vậy, ta đã hoàn thành bài toán. \( AMHN \) là hình chữ nhật và \( A \) là trung điểm của đoạn thẳng \( DE \).