Để chứng minh rằng \(5n + 3\) là hợp số với \(n \in \mathbb{N}\), ta có thể phân tích như sau:

1. **Chọn các giá trị của \(n\)**:
- Xét một số giá trị của \(n\) trong tập hợp số tự nhiên để thấy được quy luật.

2. **Tính giá trị định thức \(5n + 3\)**:
- Khi \(n=0\): \(5(0) + 3 = 3\) (số nguyên tố, không hợp số).
- Khi \(n=1\): \(5(1) + 3 = 8\) (hợp số, \(2 \times 4\)).
- Khi \(n=2\): \(5(2) + 3 = 13\) (số nguyên tố, không hợp số).
- Khi \(n=3\): \(5(3) + 3 = 18\) (hợp số, \(2 \times 9\)).
- Khi \(n=4\): \(5(4) + 3 = 23\) (số nguyên tố, không hợp số).
- Khi \(n=5\): \(5(5) + 3 = 28\) (hợp số, \(4 \times 7\)).

3. **Tìm quy luật**:
- Các giá trị cho \(n\) từ 0 đến 5 mang lại các số nguyên tố và hợp số không nhất quán.
- Tuy nhiên, có thể thấy rằng khi \(n\) tăng lên, \(5n + 3\) rơi vào cả số nguyên tố và hợp số.

4. **Phân tích tổng quát**:
- Tổng quát, ta có thể xét \(5n + 3 \equiv 0 \text{ (mod 5)}\) sẽ không bao giờ xảy ra vì \(3 \not \equiv 0 \text{ (mod 5)}\).
- Do đó gia trị này chủ yếu trở thành một hợp số nếu nó có nhiều hơn một ước số.

Cuối cùng, để chứng minh rằng \(5n + 3\) là hợp số, ta sẽ phải kiểm tra nhiều hơn nữa các giá trị khác của \(n\) để tìm ra quy luật rõ ràng hơn. Tuy nhiên, từ các giá trị đã thử nghiệm, có vẻ như việc chứng minh rõ ràng cho mọi giá trị \(n\) là cần thiết thông qua phương pháp mệnh đề mà không cần xét cụ thể từng trường hợp.

Do đó, bạn có thể sử dụng các quy tắc phân tích số học để tìm các ước số khác nhau hoặc kết luận rằng không phải lúc nào \(5n + 3\) cũng là hợp số.