Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần câu hỏi.

### a) Chứng minh \(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)

Đầu tiên, ta có biểu thức:
\[
\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}
\]
Ta có thể sử dụng phép chia cho cả tử và mẫu bởi \(\sqrt{x}+1\) (nếu \(\sqrt{x}+1 \neq 0\)):

Biểu thức này không có định thức hoặc và tồn tại nếu \(\sqrt{x} \neq -1\) và \(x \geq 0\). Để đơn giản hóa hơn nữa, hãy thử đưa biểu thức về dạng khác, có thể thấy rằng:
\[
\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}+1}
\]
Điều này cho ta thấy biểu thức luôn dương cho \(x \geq 0\).

### b) Tìm z để B thuộc Z

Biểu thức \(B\) đã cho là:
\[
B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} - \frac{2}{\sqrt{x}+1} - \frac{4}{x-1}
\]
Chúng ta cần đơn giản hóa biểu thức này. Gộp các phần tử của B:
\[
B = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}+1} - \frac{4}{x-1}
\]
Để tìm giá trị của z, chúng ta cần điều kiện \(B \in \mathbb{Z}\). Để có thể có một biểu thức nguyên, bạn cần tìm cách để hai phần tử cùng trong mẫu số, sau đó có thể tìm ra điều kiện thực tế cho \(z\).

B liên quan đến việc cân bằng các phần tử, dùng với các nghiệm nguyên, từ đó sẽ tìm ra \(z\).

### c) Tìm các số nguyên tố x để M < 1/3

Biểu thức M:
\[
M = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}
\]
Ta có điều kiện:
\[
M < \frac{1}{3}
\]
Giải bất phương trình này:
\[
\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2} < \frac{1}{3}
\]
Giải hệ bất phương trình này sẽ giúp ta tìm ra các giá trị x cho điều kiện \(M < \frac{1}{3}\).

1. Nhân chéo:
\[
3(\sqrt{x}+3) < \sqrt{x}+2
\]
2. Rút gọn và đưa về dạng bất phương trình:
\[
3\sqrt{x} + 9 < \sqrt{x} + 2
\]
\[
2\sqrt{x} < -7
\]
Điều này không có nghiệm thực nào.

Vì vậy, không có số nguyên tố nào cho phép đáp ứng yêu cầu \(M < \frac{1}{3}\), chứng tỏ rằng không có số nguyên tố nào tạo ra điều kiện này.

Hy vọng rằng các phân tích trên sẽ giúp bạn nắm bắt cấu trúc của vấn đề!