Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, kẻ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E

Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần cụ thể.

### a) Chứng minh \( AM = DE \)

1. **Lập hệ tọa độ:** Cho \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \) và \( C(0, c) \) với \( b, c > 0 \).
2. **Tính tọa độ M:** \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó tọa độ của \( M \) là
\[
M\left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right).
\]
3. **Xác định phương trình đường thẳng AB:** Đường thẳng AB nằm trên trục hoành (y=0).
4. **Tìm tọa độ D:** \( D \) là điểm nằm trên đường AB và vuông góc với MD, do đó tọa độ của \( D \) là \( D\left( \frac{b}{2}, 0 \right) \).
5. **Tính khoảng cách \( AM \):**
\[
AM = \sqrt{\left( \frac{b}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{c}{2} - 0 \right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + c^2}.
\]
6. **Tìm tọa độ E:** \( ME \) vuông góc với AC, ta có AC là đường thẳng x = 0, và tọa độ của \( E \) là \( E(0, \frac{c}{2}) \).
7. **Tính khoảng cách \( DE \):**
\[
DE = \sqrt{\left( 0 - \frac{b}{2} \right)^2 + \left( \frac{c}{2} - 0 \right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + c^2}.
\]

Kết quả là \( AM = DE \).

### b) Chứng minh tứ giác \( DMCE \) là hình bình hành.

1. **Xác định các cặp cạnh song song:**
- \( DM \) vuông góc với \( AB \) và \( ME \) vuông góc với \( AC \), từ đó có thể suy ra rằng \( DM \) song song với \( CE \) và \( DC \) song song với \( ME \