Để giải bài toán liên quan đến hình học, ta sẽ thực hiện từng phần theo thứ tự:

### Phần a:
**Chứng minh OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC.**

1. **Xét các điểm B và C**: B và C là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến AC và AB với đường tròn tâm O bán kính R. Theo định lý tiếp tuyến, ta có:
- \( OA^2 = OB^2 + AB^2 \)
- \( OA^2 = OC^2 + AC^2 \)
Do đó, \( OA = OB = OC \) khi nối OA đến O.

2. **Tính toán khoảng cách**:
- Khoảng cách OA = 2R.
- Khoảng cách OB = OC = R (bán kính của đường tròn).

3. **Xét góc**: Hai tiếp tuyến OA và OB tạo thành một góc 90 độ với đường dây nối B và C. Do đó, góc A OB là góc vuông, và ta có:
\[
\angle OAB = \angle OAC = 90^\circ
\]

4. **Tính đồng dạng**: Từ đó suy ra rằng OA vuông góc với BC tại điểm O, tức là OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

### Phần b:
**Chứng minh tứ giác AMON là hình thoi.**

1. **Xét các điểm M và N**: M là điểm thuộc đường thẳng AB, N là điểm thuộc OC. Do OC và OB vuông góc với nhau tại O, và OA cắt OC tại M và OB tại N, chúng ta có:
- \( OM \perp AB \)
- \( ON \perp OC \)

2. **Hai cặp cạnh đối diện bằng nhau**:
- OAB là tam giác vuông, AO = OA do trước đó.
- Tương tự, OAN cũng là tam giác vuông với OA = OB.
- Do đó, AM = ON, OM = AN.

3. **Kết luận về tứ giác AMON**: Vì 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau và tô điểm vuông góc, tứ giác AMON là hình thoi.

### Phần c:
**Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OB, OC và cung lớn nhất BC.**

1. **Diện tích hình quạt**: Diện tích của hình quạt tròn được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{R^2 \cdot \alpha}{2} - \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \sin(\alpha)
\]
với \( \alpha \) là số đo góc lớn nhất của cung BC. Số đo này là 240 độ hoặc 4/3 π radian.

2. **Tính diện tích**:
\[
S = \frac{R^2 \cdot \frac{4\pi}{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \sin(\frac{4\pi}{3})
\]
Trong đó, \(\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), dấu âm chỉ ra hướng vẽ.

3. **Viết về diện tích**:
\[
S = \frac{2\pi R^2}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}R^2
\]

Từ đó, bạn có thể kết luận ra diện tích mà phần diện tích hình quạt cần tìm.