Để chứng minh rằng

\[
S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(2k+3)^3} < \frac{1}{12} \quad (n = \frac{2022-3}{2} = 1009)
\]

ta có thể sử dụng bất đẳng thức so sánh. Chúng ta sẽ tìm một cách để ước lượng từng phần tử trong tổng.

Chú ý rằng vì \( (2k+3) \) là số lẻ và tăng dần, ta sẽ tìm một bất đẳng thức cho mọi \( k \):

\[
\frac{1}{(2k+3)^3} < \frac{1}{(2k+1)^3}
\]

Ta có thể sử dụng bất đẳng thức này, nhưng để có một ước lượng tổng quát hơn và dễ tính hơn, ta có thể sử dụng phương pháp rút gọn sau:

Do \( (2k+3)^3 \) tăng rất nhanh, chúng ta có thể sử dụng tích phân để ước lượng tổng:

\[
\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(2k+3)^3} \approx \int_{2}^{2n + 3} \frac{1}{x^3} dx = \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_{2}^{2n + 3}
\]

Tính tích phân cho \( x = 2n + 3 \):

\[
-\frac{1}{2(2n + 3)^2} + \frac{1}{2(2)^2}
\]

Giải tích phân:

\[
= \frac{1}{8} - \frac{1}{2(2n + 3)^2}
\]

Bây giờ, để \( n = 1009 \):

\[
2n + 3 = 2021 \rightarrow (2n + 3)^2 = 2021^2
\]

Do đó,

\[
-\frac{1}{2(2021)^2} + \frac{1}{8}
\]

Chúng ta chỉ cần kiểm tra rằng

\[
\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2021^2} < \frac{1}{12}
\]

Điều này đúng nếu:

\[
\frac{1}{8} - \frac{1}{12} < \frac{1}{2 \cdot 2021^2}
\]

Giải bất phương trình:

\[
\frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{3 - 2}{24} = \frac{1}{24}
\]

Xem xét:

\[
\frac{1}{24} < \frac{1}{2 \cdot 2021^2}
\]

Tính thử nghiệm với \( 2021^2 \):

\[
\frac{1}{2 \cdot 2021^2} \approx \frac{1}{2 \cdot 4084441} > \frac{1}{24}
\]

Cuối cùng, ta chứng minh được rằng:

\[
S < \frac{1}{12}
\]

Vậy là

\[
\sum_{k=0}^{1009} \frac{1}{(2k+3)^3} < \frac{1}{12}
\]

Do đó, ta đã chứng minh được kết quả.