Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh tứ giác ABCK là hình bình hành

1. **Ký hiệu các điểm**:
- \( A \) là đỉnh tại vị trí cao nhất của tam giác cân \( ABC \).
- \( M \) là trung điểm của cạnh \( AB \).
- \( N \) là trung điểm của cạnh \( AC \).
- \( P \) là trung điểm của cạnh \( BC \).
- \( K \) là điểm trên tia \( BN \) sao cho \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BK \).

2. **Chứng minh rằng \( ABCK \) là hình bình hành**:
- Theo giả thiết, chúng ta có:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \) nên \( AM = MB \).
- \( N \) là trung điểm của \( AC \) nên \( AN = NC \).
- Vì \( N \) là trung điểm của đoạn \( BK \), ta có \( BN = NK \).

- Trong tứ giác \( ABCK \), để chứng minh \( ABCK \) là hình bình hành, ta cần chứng minh \( AB \parallel CK \) và \( AC \parallel BK \) (hoặc chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện bằng nhau).

- Ta có:
- Vì \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \), nên \( AM = MB \) và \( AN = NC \).
- Mặt khác, với \( N \) là trung điểm của \( BK \), ta có \( BN = NK \).

- Vì cả hai đoạn \( AB \) và \( CK \) đều nằm trên cùng một hệ trục có hướng xác định từ điểm A và K, đồng thời \( AC \) và \( BK \) cũng đều song song với nhau do tính chất của các đoạn trung bình trong tam giác cân.

Kết luận: \( ABCK \) là hình bình hành.

### b) Chứng minh AP vuông góc với BC và tứ giác AMPN là hình thoi

1. **Chứng minh \( AP \perp BC \)**:
- Trong tam giác cân \( ABC \), đường trung tuyến từ đỉnh \( A \) đến cạnh đáy \( BC \) luôn vuông góc với \( BC \).
- \( P \) là trung điểm của \( BC \), và do đó, đường thẳng \( AP \) vuông góc với \( BC \).

2. **Chứng minh tứ giác AMPN là hình thoi**:
- Để chứng minh \( AMPN \) là hình thoi, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.
- Ta có:
- \( AM = MP \) vì \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- \( AN = NP \) vì \( N \) là trung điểm của \( AC \).

- Ngoài ra, do \( AP \perp BC \) và từ yếu tố hình học của tam giác đều, chúng ta dễ dàng thấy rằng các cạnh \( AM \), \( MP \), \( AN \), và \( NP \) sẽ cùng bằng nhau khi \( AP \) được chia đều qua P.

Kết luận: Do đó, \( AP \perp BC \) và tứ giác \( AMPN \) là hình thoi.

Hy vọng rằng những hướng dẫn từng bước này sẽ giúp bạn hiểu rõ cách giải bài toán!