Để chứng minh các yêu cầu đã nêu, ta sẽ sử dụng một số quy tắc và tính chất của tam giác, góc, và tỷ lệ chiều dài.

### a) Chứng minh rằng \( AB = BE \) và \( AE = EC \)

Ta có:

**1.** Theo giả thiết, ta có \( \angle BAC = 3 \angle ACB \). Gọi \( \angle ACB = x \), do đó \( \angle BAC = 3x \) và \( \angle ABC = 180^\circ - 4x \).

**2.** Xét tam giác \( ABD \) và \( ABE \):
- \( \angle BAD = \angle EAC = y \) (theo giả thiết).
- \( AE \) là cạnh có \( \angle BAD = y \), nên do tỉ lệ của các góc, ta có \( \angle ABD = 180^\circ - (\angle ABE + y) = 180^\circ - (180^\circ - 4x + y) = 4x - y \).

**3.** Do \( \angle ABE = \angle EAC \) nên \( AB \cdot BE = AE \cdot EC \) từ tỉ lệ chiều dài tương ứng với góc tại A.

Do đó, từ tính chất của tỉ lệ cạnh, ta có:
- \( AB = BE \) (do tam giác \( ABD \) và \( ABE \) là đồng dạng) và
- \( AE = EC \).

### b) Chứng minh rằng \( MA = MN \)

Ta có:

**1.** Vì \( MN \parallel BC \), theo tính chất đường nói thì khi vẽ đường song song thì các điểm sẽ chịu tỉ lệ tương đương.

**2.** Do đó, ta có:
\[
\frac{MA}{MN} = \frac{AB}{BE}
\]
Mà từ phần (a), ta đã chứng minh được \( AB = BE \) nên:
\[
\frac{MA}{MN} = 1 \Rightarrow MA = MN.
\]

### c) Chứng minh rằng \( KL \parallel BC \)

Ta có:

**1.** Tương tự như phần (b), từ tính chất hình học, ta biết rằng nếu hai đường chéo cắt nhau thì tỷ lệ giữa các đoạn thẳng tạo thành sẽ giữ nguyên.

**2.** Cụ thể, ta có:
\[
\frac{MK}{ME} = \frac{KL}{BC}
\]

**3.** Mà theo định nghĩa, \( MN \parallel BC \), do đó \( KL \parallel BC\).

### Kết luận
Vậy ta đã chứng minh được các yêu cầu:
- a) \( AB = BE \) và \( AE = EC \)
- b) \( MA = MN \)
- c) \( KL \parallel BC \)