Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách cụ thể.

**a. Chứng minh tam giác ABD = tam giác EBD:**

Ta có:

1. **Cạnh chung:** AB là cạnh chung của hai tam giác ABD và EBD.
2. **Góc ABD:** Khi BD là tia phân giác của góc B, suy ra
\[
\angle ABD = \angle EBD
\]
3. **Góc ADB:** Do DE vuông góc với BC, nên
\[
\angle ADE = 90^\circ
\]
và do tam giác AB là tam giác vuông tại A, ta cũng có
\[
\angle ADB = 90^\circ
\]

Vậy ta có đủ 2 góc (ABD và ADB) và một cạnh (AB) tương ứng, từ đó suy ra được rằng:

\[
\triangle ABD \cong \triangle EBD \quad (\text{cạnh-góc-góc})
\]

Như vậy, ta có \(\triangle ABD \cong \triangle EBD\).

**b. Gọi K là giao điểm của đường thẳng AB và DE. Chứng minh BK = BC.**

Ta đã có các thông tin từ trên:

- Do DE ⊥ BC, nên DE là đường cao từ D trong tam giác BDC.
- Từ phần a, ta đã chứng minh \(\triangle ABD \cong \triangle EBD\).

Dựa vào sự đồng dạng và tính chất của các cạnh trong tam giác:

1. **Tam giác BDC:** Có DE là đường vuông góc với BC tại E.
2. **Chiều dài DE:** Từ tam giác ABD, chúng ta có BD là tia phân giác trong tam giác vuông, do đó theo định lý phân giác trong tam giác vuông, ta sẽ có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

3. **Dễ dàng nhận thấy**:
Ta có \(BK = BD\) (do K thuộc đường thẳng AB).

Suy ra:
\[
BK = BD = BE \quad (\text{do } \triangle ABD \cong \triangle EBD)
\]
Mà \(E\) là chân vuông của đường thẳng DE trên BC, đồng nghĩa với
\[
BK = BE + E \cdots E \text{ ra ngoài BC}
\]

Như vậy, ta có \(BK = BC\) vì \(BK\) với \(BC\) đối xứng qua \(E\) và hình thành một tam giác đều trong tam giác vuông BDC do DE vuông góc với BC.

Kết luận:
\[
BK = BC.
\]

Chúng ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.