Để chứng minh các tính chất trong tam giác nhọn \( ABC \) như đã nêu, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học phẳng, đặc biệt là liên quan đến tia phân giác và hình chiếu.

### Chứng minh a: \( BM = BP \)

1. **Kích thước các đoạn thẳng**:
- Xét hình chiếu của điểm I trên các cạnh của tam giác:
- M là hình chiếu của I trên BC.
- P là hình chiếu của I trên AC.
- Do \( IM \perp BC \) và \( IP \perp AC \), tam giác \( BIM \) và tam giác \( PBI \) vuông tại M và P.

2. **Sử dụng lượng giác**:
- Xét tam giác \( BIM \) và tam giác \( BPI \): Ta có \( \angle IBM = \angle IBA \) và \( \angle PBI = \angle IBP \).
- Từ đó, \( \triangle IBM \sim \triangle BPI \).
- Theo định nghĩa tỉ số cạnh trong hình tam giác vuông tương ứng, ta có:
\[
\frac{BM}{BP} = \frac{IB}{IB} \Rightarrow BM = BP
\]

### Chứng minh b: \( IM = IN \)

1. **Công thức chiều dài**:
- Tương tự, M là hình chiếu của điểm I lên BC và N là hình chiếu của điểm I trên AB với $IM \perp BC$, $IN \perp AB$.
- Tam giác \( INM \) là hình chữ nhật vì có hai cạnh vuông góc với nhau.

2. **Dos lượng giác**:
- Sử dụng tính chất của hình chiếu vuông góc, với IM là chiều cao từ I xuống BC và IN là chiều cao từ I xuống AB, ta có trực tiếp rằng:
\[
IM = IN
\]

### Chứng minh c: \( BP + CN = BC \)

1. **Sử dụng đặc điểm hình chiếu**:
- Từ M và N, có thể xác định được rằng:
\[
BP + CN = BM + MN = BC
\]

2. **Hình học phẳng**:
- BC có thể được phân chia thành hai phần BM và CN, vì chúng là đoạn đường từ B đến N và từ N đến C thông qua M.

### Chứng minh d: AI là tia phân giác góc BAC

1. **Phân tích Tia phân giác**:
- Tia phân giác của góc BAC chia góc BAC thành hai góc bằng nhau. Để chứng minh I nằm trên AI, ta có thể dựa vào các tỉ số đoạn chính.

2. **Dùng tính chất**:
- Theo tính chất của tia phân giác và hình chiếu vuông góc, chúng ta có
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{CN}
\]
- Với việc BI và CI là các đoạn phân giác, ta suy ra \( AI \) là tia phân giác của \( BAC \).

Với các chứng minh trên, ta đã hoàn tất các yêu cầu bài toán.