Để chứng minh tỉ lệ \(\frac{OD}{BC} + \frac{OE}{CA} + \frac{OF}{AB} = 1\) với các điểm \(D, E, F\) được chọn sao cho \(OD \parallel BC\), \(OE \parallel CA\) và \(OF \parallel AB\), chúng ta sẽ sử dụng định lý nóp-phe và sự tương đồng của các tam giác.

1. **Tạo ra các tam giác tương đồng**:

- Từ điều kiện \(OD \parallel BC\), ta có tam giác \(AOD\) tương đồng với tam giác \(ABC\). Gọi tỉ số tỉ lệ là \(k_1\):
\[
\frac{OD}{BC} = k_1
\]

- Tương tự, từ \(OE \parallel CA\), ta có tam giác \(BOE\) tương đồng với tam giác \(ABC\). Gọi tỉ số tỉ lệ là \(k_2\):
\[
\frac{OE}{CA} = k_2
\]

- Cuối cùng, từ \(OF \parallel AB\), ta có tam giác \(COF\) tương đồng với tam giác \(ABC\). Gọi tỉ số tỉ lệ là \(k_3\):
\[
\frac{OF}{AB} = k_3
\]

2. **Giải quyết bài toán**:

- Theo định lý tam giác, tổng ba tỉ lệ này sẽ bằng 1 nếu \(O\) nằm bên trong tam giác \(ABC\):
\[
k_1 + k_2 + k_3 = 1
\]

- Suy ra:
\[
\frac{OD}{BC} + \frac{OE}{CA} + \frac{OF}{AB} = k_1 + k_2 + k_3 = 1
\]

3. **Kết luận**:

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được:
\[
\frac{OD}{BC} + \frac{OE}{CA} + \frac{OF}{AB} = 1
\]

Điều này hoàn toàn phù hợp với tính chất của tam giác và các tỉ lệ của các đoạn thẳng được tạo ra từ các đường song song.