Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần a) và b) một cách chi tiết.

### a) Giải phương trình
Ta cần giải phương trình:

\[
\frac{x^4}{2020} + \frac{x^3}{2021} = \frac{x + 2}{2022} + \frac{x + 1}{2023}
\]

Đầu tiên, chúng ta tìm mẫu số chung của hai vế. Mẫu số chung nhỏ nhất sẽ là \(2020 \times 2021 \times 2022 \times 2023\). Sau đó, ta nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung này để loại bỏ phân số.

Giải phương trình này có thể dẫn đến một phương trình bậc cao hơn, hãy thu gọn và giải phương trình đó để tìm giá trị của \(x\).

### b) Giải bất phương trình
Ta cần giải bất phương trình:

\[
\left(2x - \frac{1}{6}\right)^2 + \sqrt{3y + 12} \leq 0
\]

Xét từng thành phần trong bất phương trình:

1. **Phần thứ nhất** \(\left(2x - \frac{1}{6}\right)^2\) là một bình phương, nên luôn lớn hơn hoặc bằng 0.

2. **Phần thứ hai** \(\sqrt{3y + 12}\) cũng phải lớn hơn hoặc bằng 0, do đó ta có:

\[
3y + 12 \geq 0 \implies y \geq -4
\]

Vì \(\left(2x - \frac{1}{6}\right)^2 \geq 0\), để bất phương trình tổng cộng nhỏ hơn hoặc bằng 0, cả hai thành phần phải đồng thời bằng 0. Do đó:

\[
\left(2x - \frac{1}{6}\right)^2 = 0 \implies 2x - \frac{1}{6} = 0 \implies x = \frac{1}{12}
\]

Vì vậy, \(y\) cũng cần thỏa mãn:

\[
\sqrt{3y + 12} = 0 \implies 3y + 12 = 0 \implies y = -4
\]

### Kết luận:
- Phần a) sẽ tính giá trị cụ thể cho \(x\) cần làm thêm các bước chi tiết.
- Phần b) ta có \(x = \frac{1}{12}\) và \(y = -4\).