Giải bài toán hình học
Phần 1: Tính độ dài AC
Tam giác AMC vuông tại M:
Áp dụng định lý Pytago, ta có: AC² = AM² + MC² AC² = 16² + 12² = 400 => AC = √400 = 20 (cm)
Phần 2: Chứng minh tứ giác AMCK là hình bình hành và AB // MK
Chứng minh AMCK là hình bình hành:
Q là trung điểm của AC (gt)
QM = QK (gt) => M đối xứng với K qua Q => Tứ giác AMCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết: tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
Chứng minh AB // MK:
Vì AMCK là hình bình hành nên MK // AC (tính chất hình bình hành)
Mà AC // AB (do tam giác ABC cân tại A) => AB // MK (tính chất hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba)
Phần 3: Chứng minh tứ giác APMQ là hình thoi
Chứng minh APMQ là hình bình hành:
P là trung điểm của AB (gt)
Q là trung điểm của AC (gt)
=> PQ là đường trung bình của tam giác ABC
=> PQ // BC và PQ = 1/2 BC
Mà AM ⊥ BC (AM là đường cao)
=> AM ⊥ PQ
Tứ giác APMQ có hai đường chéo AM và PQ vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường => APMQ là hình thoi.
Phần 4: Điều kiện để AMCK là hình vuông
Để hình bình hành AMCK là hình vuông thì AM = MC.
Kết hợp với điều kiện tam giác ABC cân tại A, ta suy ra:
Tam giác AMC vuông cân tại M.
Điều này xảy ra khi góc BAC = 90 độ.
Kết luận:

AC = 20 cm.
Tứ giác AMCK là hình bình hành và AB // MK.
Tứ giác APMQ là hình thoi.
Để AMCK là hình vuông thì tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A.