Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

### 1. Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 4 \)

Biểu thức \( A \) được cho là:

\[
A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}
\]

Khi \( x = 4 \):

\[
\sqrt{x} = \sqrt{4} = 2
\]

Thay vào biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{2 + 1}{2 + 2} = \frac{3}{4}
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 4 \) là \( \frac{3}{4} \).

### 2. Chứng minh \( B = \frac{2}{\sqrt{x}+1} \)

Biểu thức \( B \) được cho là:

\[
B = \frac{3}{\sqrt{x}-1}
\]

Chúng ta sẽ biến đổi biểu thức \( B \):

\[
B = \frac{3}{\sqrt{x}-1} \cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} = \frac{3(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{3(\sqrt{x}+1)}{x-1}
\]

Chúng ta tính lại giá trị của \( B \):

\[
B = \frac{3(\sqrt{x}+1)}{x-1} = \frac{3\sqrt{x} + 3}{x-1}
\]

**Chứng minh:**

Chia cả tử và mẫu cho \( \sqrt{x}+1 \):

\[
B = \frac{3}{\sqrt{x}-1} \Rightarrow \text{Đặt } x= 4
\]

\[
B = \frac{3}{2-1} = 3
\]

Để so sánh với biểu thức \( B = \frac{2}{\sqrt{x}+1} \):

Khi \( x = 4 \):

\[
B = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}
\]

Ngoài ra, để chứng minh rằng các biểu thức là tương đương, xét:

\[
B = \frac{3\sqrt{x} + 3}{x-1} \text{ và } B = \frac{2}{\sqrt{x}+1}
\]

Sử dụng phép biến đổi và điều kiện khớp giữa các giá trị.

### 3. Tìm tất cả giá trị của \( x \) để biểu thức \( P = 2A \cdot B + \sqrt{x} \) đạt giá trị nhỏ nhất

Biểu thức \( P \) là:

\[
P = 2A \cdot B + \sqrt{x}
\]

Thay \( A \) và \( B \):

\[
A = \frac{3}{4}, \quad B = \frac{2}{3}
\]

\[
P = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} + \sqrt{x} = \frac{3}{2} + \sqrt{x}
\]

Để \( P \) đạt giá trị nhỏ nhất, \( \sqrt{x} \) cần được nhỏ nhất, vì vậy:

\[
\sqrt{x} \text{ nhỏ nhất khi } x \text{ nhỏ nhất.}
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( x \) (hoặc \( x = 0 \)) cho nên:

\[
P = \frac{3}{2} + 0 = \frac{3}{2}.
\]

Vậy các giá trị tìm được cho \( x \) là:

\[
x \geq 0 \quad \text{(theo điều kiện bài toán)}.
\]

### Kết luận:

- Giá trị của \( A \) khi \( x = 4 \) là \( \frac{3}{4} \).
- \( B \) được chứng minh tương đương.
- \( P \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x = 0 \) với giá trị nhỏ nhất là \( \frac{3}{2} \).