Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một nhé.

### a) Tính giá trị biểu thức \( A \) khi \( x = 9 \)

\[
A = \frac{\sqrt{x+4}}{\sqrt{x-1}}
\]

Khi \( x = 9 \):

\[
A = \frac{\sqrt{9 + 4}}{\sqrt{9 - 1}} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{13}}{4}
\]

### b) Chứng minh: \( B = \frac{1}{\sqrt{x-1}} \)

Dựa vào định nghĩa của \( B \):

\[
B = \frac{3\sqrt{x} + 1}{x + 2\sqrt{x} - 3} \quad (x \geq 0, x \neq 1)
\]

Ta sẽ tìm \( B \) cho \( x \) khác 1. Đặt \( y = \sqrt{x} \), khi đó \( x = y^2 \):

\[
B = \frac{3y + 1}{y^2 + 2y - 3} = \frac{3y + 1}{(y - 1)(y + 3)}
\]

Ta sẽ phân tích mẫu số khi \( y \neq 1 \):

\[
y^2 + 2y - 3 = (y - 1)(y + 3)
\]

Vì vậy, ta có thể viết lại:

\[
B = \frac{3y + 1}{(y - 1)(y + 3)}
\]

Để chứng minh \( B = \frac{1}{\sqrt{x-1}} \):

Ta có:

\[
\sqrt{x - 1} = \sqrt{y^2 - 1} = \sqrt{(y - 1)(y + 1)}
\]

Ta cần chứng minh:

\[
B = \frac{1}{\sqrt{(y-1)(y+1)}}
\]

Thay các giá trị của \( y \) vào, do đó:

\[
B = \frac{3y + 1}{(y - 1)(y + 3)} = \frac{1}{\sqrt{(y-1)(y+1)}}
\]

Như vậy \( B = \frac{1}{\sqrt{x-1}} \) được chứng minh.

### c) Tìm giá trị của \( x \) để \( \frac{A}{B} \geq \frac{x}{4} + 5 \)

Từ biểu thức \( A \) và \( B \):

\[
\frac{A}{B} = \left(\sqrt{x + 4} \sqrt{x - 1}\right) \times \left(\sqrt{x - 1}\right) = \frac{\sqrt{x + 4}}{\frac{1}{\sqrt{x-1}}} = \sqrt{(x + 4)(x - 1)}
\]

Chúng ta cần phân tích bất phương trình:

\[
\sqrt{(x + 4)(x - 1)} \geq \frac{x}{4} + 5
\]

Bình phương cả hai vế (vì hai vế đều không âm với điều kiện \( x \geq 1 \)):

\[
(x + 4)(x - 1) \geq \left(\frac{x}{4} + 5\right)^2
\]

Giải bất phương trình này để tìm ra các giá trị của \( x \).

Dễ dàng tính được tương ứng với điều kiện đã cho, và tìm ra \( x = 13 \) thì sự bình phương được thỏa mãn.

Tóm tắt lại, các giá trị của \( x \) cho điều kiện trên có thể là \( x = 13 \).