### Phần 1: Chứng minh OA là trung trực của đoạn thẳng BC và AB' = AH.AO.

1. **Chứng minh OA là trung trực của BC:**

- Từ định nghĩa của tiếp tuyến, ta có:
- \( AB \perp OB \) và \( AC \perp OC \).
- Xét tam giác \( OAB \) và \( OAC \):
- Từ đó, ta thấy \( OA \) là tia sáng từ điểm A và cắt đoạn thẳng BC tại H.
- Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
- \( OB = OC \) (bằng nhau do là bán kính của cùng một đường tròn).
- Do đó, \( OH \) là đoạn trung bình của \( BC \).
- Khi đó, do tính chất đối xứng, ta có \( AH = AH \) và \( HB = HC \).
- Kết hợp với chứng minh trên, ta có:
- Vậy \( OA \) là trung trực của \( BC \).

2. **Chứng minh \( AB' = AH.AO \):**

- Theo định nghĩa, \( AB' \) là đoạn thẳng từ điểm A đến điểm B', với B' là hình chiếu của B lên đường thẳng AO.
- Theo hệ thức lượng trong tam giác có một cạnh là tiếp tuyến (tính chất tiếp tuyến của tiếp điểm), ta có:
\[
AB^2 = AH \cdot AO
\]

### Phần 2: Chứng minh OMCH là hình chữ nhật.

1. **Vẽ đường kính BD của đường tròn (O; R).**

- Gọi điểm M là trung điểm của đoạn thẳng CD.

2. **Chứng minh 2 cặp cạnh đối của tứ giác OMCH song song và bằng nhau:**

- Từ tính chất của hình tròn, ta biết rằng đường kính BD vuông góc với bất kỳ dây nào đi qua nó.
- Do đó, \( OM \perp CD \) và \( OM \perp BC \).
- Vì M là trung điểm của CD, nên ta có:
- \( CM = MD \) và \( OM = OM \).

3. **Chứng minh các góc của tứ giác:**
- Từ các định lý trên, chúng ta biết rằng góc \( OMC \) có độ lớn là 90 độ và góc \( OAH \) cũng có độ lớn 90 độ (do tính chất tiếp tuyến).
- Tương tự cho các góc còn lại, đảm bảo mỗi cặp góc kề bù nhau là 180 độ.

4. **Kết luận:**
- Từ những kết quả trên, tứ giác OMCH có 2 cặp cạnh đối song song và chiều dài bằng nhau, đồng thời có bốn góc vuông, do vậy OMCH là hình chữ nhật.

Cuối cùng, ta đã hoàn thành cả hai phần của bài toán theo yêu cầu.