Đây là một bài toán hình học khá hay về hình bình hành và tam giác đồng dạng. Tôi sẽ chứng minh từng phần một cách chi tiết:

a) Chứng minh ΔGDA ∽ ΔGCF:

Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC.

Do đó, ∠GDA = ∠GCF (hai góc so le trong).

Lại có ∠DGA = ∠FGC (hai góc đối đỉnh).

Vậy ΔGDA ∽ ΔGCF (g.g - góc-góc).

b) Chứng minh ΔABF ∽ ΔGCF:

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD.
Do đó, ∠ABF = ∠GCF (hai góc đồng vị).
Vì AD//BC và đường thẳng d cắt BC tại F và CD tại G nên ta có thể xem xét các góc tạo bởi các đường thẳng cắt nhau.
Xét hai đường thẳng song song AB và CD bị cắt bởi cát tuyến AG. Ta có ∠BAG=∠CGA (so le trong) hay ∠BAF = ∠CGA.
Vậy ΔABF ∽ ΔGCF (g.g - góc-góc).
c) Chứng minh ΔGDA ∽ ΔABF và tích BF.DG không đổi:

Từ a) và b), ta đã chứng minh được:

ΔGDA ∽ ΔGCF
ΔABF ∽ ΔGCF
Suy ra ΔGDA ∽ ΔABF (cùng đồng dạng với ΔGCF).

Bây giờ, ta sẽ chứng minh tích BF.DG không đổi.

Từ ΔGDA ∽ ΔGCF, ta có: GD/GC = AD/CF

Từ ΔABF ∽ ΔGCF, ta có: BF/CF = AB/GC

Nhân hai đẳng thức trên vế theo vế, ta được:

(GD/GC) * (BF/CF) = (AD/CF) * (AB/GC)

GD * BF / (GC * CF) = AD * AB / (CF * GC)

GD * BF = AD * AB

Vì AD và AB là các cạnh của hình bình hành ABCD nên độ dài của chúng không đổi. Do đó, tích AD * AB là một hằng số.

Vậy tích BF * DG không đổi khi đường thẳng d quay quanh điểm A.

Kết luận:

a) ΔGDA ∽ ΔGCF
b) ΔABF ∽ ΔGCF
c) ΔGDA ∽ ΔABF và tích BF.DG không đổi khi d quay quanh A.