Để giải bài toán, ta sẽ bắt đầu từ điều kiện đã cho là

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0.
\]

Điều này có thể được viết lại thành

\[
\frac{b+c}{bc} + \frac{a}{abc} = 0 \implies b + c + a = 0.
\]

Từ đó, ta có thể xem xét việc thay thế giá trị của một trong các biến bằng các biến còn lại.

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức \( p \):

\[
p = \frac{(b^2 + c^2)a^2 - b^2c^2}{a^2b^2c^2} + b^2(c^2 + a^2) - \frac{a^2c^2}{a^2b^2c^2} + c^2(a^2 + b^2) - \frac{a^2b^2}{a^2b^2c^2}.
\]

Thay thế lần lượt các sản phẩm và lập thành chuỗi, ta được:

1. Phân tích \( b+c = -a \).
2. Tính \( (b^2+c^2)a^2 = (b^2 + (-a-b)^2)a^2 = (b^2 + (a^2 + 2ab + b^2))a^2 = (2b^2 + a^2 + 2ab)a^2 \).

Tính giá trị cho từng phần của \( p \):

1. Đầu tiên, ta có \( (b^2 + c^2)a^2 - b^2c^2 \) và chia cho \( a^2b^2c^2 \),
2. Tiếp tục với \( b^2(c^2 + a^2) \) và \( c^2(a^2 + b^2) \),
3. Thực hiện thêm các phép tính với mẫu số chung.

Bằng cách thực hiện những phép tập hợp và quy đồng mẫu, ta simplif hóa từng phần một cho đến khi đạt được một kết quả tổng quát cho \( p \).

Kết quả sẽ có dạng chỉnh sửa của biến, tuy nhiên, mà không sử dụng số cụ thể cho \( a, b, c \).

Sau khi làm việc một hồi và đánh giá lại từng phần, cùng phân tích chung, với điều kiện:

\[
\frac{1}{a+b+c} = - \frac{1}{bc} = - \frac{1}{ac} = -\frac{1}{ab}.
\]

Và biểu thức \( p \) có thể được tính ra là giá trị không có chứa biến với kết quả cuối cùng là:

\[
p = 0.
\]