Ta sẽ lần lượt giải từng phần của đề bài.

**a)** Tính giá trị của **A** khi \( |x - 2| = 1 \):

Giá trị của \( |x - 2| = 1 \) có hai trường hợp:
1. \( x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3 \)
2. \( x - 2 = -1 \Rightarrow x = 1 \)

Xét trường hợp thứ nhất:

Khi \( x = 3 \):
\[
A = \frac{3 + 1}{3^2 - 2 \cdot 3} = \frac{4}{9 - 6} = \frac{4}{3}
\]

Xét trường hợp thứ hai:

Khi \( x = 1 \):
\[
A = \frac{1 + 1}{1^2 - 2 \cdot 1} = \frac{2}{1 - 2} = -2
\]

Vậy giá trị của **A** khi \( |x - 2| = 1 \) là \( \frac{4}{3} \) hoặc \( -2 \).

---

**b)** Chứng minh **B = \frac{8}{x - 2}**:

Biểu thức \( B \):
\[
B = \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} - \frac{16}{4 - x^2}
\]

Đầu tiên, nhận thấy rằng \( 4 - x^2 = -(x - 2)(x + 2) \), vì vậy:
\[
\frac{16}{4 - x^2} = -\frac{16}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Tính hai phần tử đầu tiên:
\[
\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{(x + 2)^2 - (x - 2)^2}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Sử dụng công thức khai phương:
\[
= \frac{(x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{8x}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Khi đó:
\[
B = \frac{8x}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{16}{-(x - 2)(x + 2)} = \frac{8x + 16}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Rút gọn:
\[
= \frac{8(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{8}{x - 2}
\]

Vậy đã chứng minh được \( B = \frac{8}{x - 2} \).

---

**c)** Đặt \( P = \frac{B}{A} \). Rút gọn biểu thức \( P \):

Từ phần b, ta có \( B = \frac{8}{x - 2} \).

Ta đã tính \( A \) từ phần a. Thay vào công thức:
\[
P = \frac{\frac{8}{x - 2}}{A}
\]
Với \( A = \frac{x + 1}{x^2 - 2x} \), thì ta có:
\[
P = \frac{8}{(x - 2) \left( \frac{x + 1}{x^2 - 2x} \right)} = \frac{8(x^2 - 2x)}{(x - 2)(x + 1)}
\]
Ta tiếp tục rút gọn:
\[
= \frac{8(x(x - 2))}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{8x}{x + 1} \quad (x \neq 2)
\]

---

**d)** Tìm \( x \) nguyên để \( P \) là số tự nhiên:

Ta có:
\[
P = \frac{8x}{x + 1}
\]
Để \( P \) là một số tự nhiên, thì cả tử và mẫu phải là số nguyên và \( x+1 \) không được bằng 0.

Giả sử \( P = k \) (là số tự nhiên):
\[
8x = k(x + 1) \Rightarrow 8x = kx + k \Rightarrow (8 - k)x = k
\]

Vậy
\[
x = \frac{k}{8 - k}
\]
Để \( x \) là số nguyên, thì \( k \) phải chia hết cho \( 8 - k \). Thử với các giá trị của \( k \): 1, 2, ..., 7.

Kết quả cho \( k=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \) cho ra các số nguyên tương ứng.

---

**e)** Tìm \( x \) nguyên để \( P \) nhận giá trị lớn nhất:

Khi quan sát biểu thức:
\[
P = \frac{8x}{x+1}
\]
Ta nhận thấy rằng \( P \) tăng khi \( x \) tăng, nhưng luôn cần thoả mãn \( x + 1 \neq 0 \). Do đó, \( x \) có thể là các số nguyên dương (0, 1, 2,...).

Khi \( x \) ngày càng lớn, P cũng tăng vô hạn.

Vậy P không có giá trị lớn nhất cụ thể trong tập nguyên, và có giá trị lớn nhất khi \( x \) hướng tới vô cùng.

---

Nếu bạn cần thêm thông tin hay điều chỉnh gì, hãy cho tôi biết nhé!