1) Chứng minh ADEF là hình chữ nhật:

• Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC và AD = BC, AB // CD và AB = CD, ∠A = ∠D = 90°.
• E, F là trung điểm DC và AB nên DE = EC = AB/2 và AF = FB = CD/2. Do AB = CD nên AF=DE
• Xét tứ giác ADEF có: AD // EF (vì AD // BC và E, F thuộc BC, AD), AF // DE (vì AB // CD và E, F thuộc AB, CD) và ∠D = 90°.
• Vậy ADEF là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).

2) Tính diện tích hình chữ nhật ADEF:

• Diện tích hình chữ nhật ADEF = AD * DE
• Ta có DC = 14 cm nên DE = DC/2 = 14/2 = 7 cm.
• AD = 5 cm (đề bài).
• Vậy diện tích ADEF = 5 cm * 7 cm = 35 cm².

3) Chứng minh AECF là hình bình hành:

• Xét tứ giác AECF có: AF // EC (vì AB // CD và F, E thuộc AB, CD), AF = EC = AB/2 = CD/2.
• Vậy AECF là hình bình hành (tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

4) Chứng minh GHKE là hình bình hành:

• EH ⊥ FC tại H.
• Q, K là trung điểm FB và HC.
• KG // DC (theo đề bài).
• Trong tam giác FBC, Q là trung điểm FB, QH là đường trung bình của tam giác FBC nên QH // BC và QH = 1/2 BC. Mà BC//AD nên QH//AD và QH = AD = KE
• Trong ΔEHC, K là trung điểm HC, KI // EC (vì KG // DC nên KI // EC). Do đó I là trung điểm EH.
• Xét tứ giác GHKE có: KE // GH(vì QH//AD) và KE=GH( vì QH=KE và QH=GH)
• Vậy GHKE là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

5) Chứng minh QK ⊥ EK:

• Gọi I là giao điểm của GK và EH.
• Xét ΔFBC có Q là trung điểm FB, QH // BC nên H là trung điểm FC. Vậy QH là đường trung bình của ΔFBC. Do đó QH = 1/2 BC.
• Ta có EH ⊥ FC tại H, do đó ΔEHC vuông tại H.
• Trong tam giác vuông EHC, K là trung điểm HC nên EK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, suy ra EK = KC = KH = 1/2 HC.
• Vì QH // AD và AD ⊥ DC nên QH ⊥ DC. Mà KG // DC nên QH ⊥ KG. Suy ra ∠QIK = 90°
• Trong ΔQHK, QK là đường trung tuyến. ΔQHK cân tại H (QH=KH) suy ra QK ⊥ HK.
• Mà HK trùng với KE nên QK ⊥ KE.

• Ta có:
  • AE = BF (vì E, F lần lượt là trung điểm của AB và DC)
  • AD = BC (tính chất hình chữ nhật)
  • AE // BF (vì AB // DC)
• Suy ra: Tứ giác ADEF là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
• Mà: Góc A = 90 độ (ABCD là hình chữ nhật)
• Nên: Tứ giác ADEF là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông).

• Ta có:
  • AE = AB/2 = 14/2 = 7 cm
  • AD = 5 cm
• Diện tích hình chữ nhật ADEF:
  • S(ADEF) = AE * AD = 7 * 5 = 35 cm²

• Ta có:
  • AE // CF (vì AB // DC)
  • AE = CF (cùng bằng một nửa AB = DC)
• Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (hai cạnh đối song song và bằng nhau).

• Ta có:
  • HK // DC (theo cách vẽ)
  • AE // CF (chứng minh ở câu 3)
  • Mà DC // AE
  • Suy ra: HK // GE
• Ta có:
  • EH ⊥ FC (giả thiết)
  • HK // DC (theo cách vẽ)
  • Mà FC ⊥ DC (do ABCD là hình chữ nhật)
  • Suy ra: EH ⊥ HK
• Mà: EK là đường chéo của hình bình hành GHKE
• Nên: GHKE là hình bình hành (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc).

• Gọi I là giao điểm của GK và EH.
• Ta có:
  • GK // DC (theo cách vẽ)
  • EH ⊥ DC (do ABCD là hình chữ nhật)
  • Suy ra: EH ⊥ GK
  • Mà I là giao điểm của GK và EH
  • Nên: ∠KIH = 90 độ
• Ta có:
  • QK là đường trung bình của tam giác BHC (do Q, K lần lượt là trung điểm của FB và HC)
  • Suy ra: QK // BC
  • Mà BC ⊥ AB (do ABCD là hình chữ nhật)
  • Suy ra: QK ⊥ AB
• Mà: EK // AB (vì EK là đường trung bình của tam giác ABE)
  • Nên: QK ⊥ EK