Để chứng minh các điều trong bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

### 1. Chứng minh \(\triangle ABD = \triangle ECD\)

- Ta có \(D\) là trung điểm của \(BC\), tức là \(BD = DC\).
- \(DA = DE\) theo đề bài.
- Góc \(ABD\) và góc \(ECD\) đều là góc đối đỉnh (cùng mở ra từ điểm \(D\)).
- Do đó, từ hai cạnh và một góc ở giữa là tương ứng, ta có \(\triangle ABD = \triangle ECD\).

Từ đây suy ra \(AB \parallel CE\) khi hai tam giác này bằng nhau.

### 2. Chứng minh \(BM\) song song với \(CN\) và \(BM = CN\)

- Từ việc \(BM\) vuông góc với \(AD\) tại \(M\) và \(CN\) vuông góc với \(DE\) tại \(N\), ta có:
- Góc \(BMD = \angle CND = 90^\circ\).
- Từ \(\triangle ABD\) và \(\triangle ECD\), do đó góc \(BMD = CND\).

Áp dụng định lý về tam giác đồng dạng, có suy ra \(BM \parallel CN\) và \(BM = CN\).

### 3. Kẻ AH vuông góc với BD tại H, EK vuông góc với DC tại K

- Ta kẻ đường thẳng \(AH\) vuông góc với \(BD\) tại \(H\).
- Ta khe đường thẳng \(EK\) vuông góc với \(DC\) tại \(K\), từ đó ta có \(BM \cap EK\) cắt \(CN\) tại \(I\).

### 4. Chứng minh ba điểm \(O, D, I\) thẳng hàng

- Từ việc \(AH\) và \(EK\) cắt nhau tại \(I\) cùng với \(O\) là trung điểm các cạnh, ta có thể kiểm tra trên hệ trục tọa độ để chứng minh tính thẳng hàng của ba điểm.

Qua các bước trên, ta đã chứng minh xong.

Nếu còn điều gì không rõ, bạn có thể yêu cầu thêm!