Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy: (d): \( x - 2y = -1; \) (d2): \( -2x + y = -4; \) (d3): \( 2mx - 3y = 5 \)

Để ba đường thẳng đồng quy, điều kiện cần thiết là định thức của hệ số của chúng bằng 0. Ta quy về dạng chuẩn là:

1. Đường thẳng (d): \( x - 2y + 1 = 0 \) (hệ số là \(1, -2, 1\)).
2. Đường thẳng (d2): \( -2x + y + 4 = 0 \) (hệ số là \(-2, 1, 4\)).
3. Đường thẳng (d3): \( 2mx - 3y - 5 = 0 \) (hệ số là \(2m, -3, -5\)).

Ta tạo ra ma trận và tính định thức:

\[
\begin{vmatrix}
1 & -2 & 1 \\
-2 & 1 & 4 \\
2m & -3 & -5
\end{vmatrix}
\]

Tính định thức:

\[
D = 1 \begin{vmatrix}
1 & 4 \\
-3 & -5
\end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix}
-2 & 4 \\
2m & -5
\end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix}
-2 & 1 \\
2m & -3
\end{vmatrix}
\]

Tính từng định thức:

1. \( D_1 = 1 (-5 - (-12)) = -5 + 12 = 7 \).
2. \( D_2 = -2 (-10 - 8m) = 20 + 16m \).
3. \( D_3 = -2(-3) - 2m = 6 - 2m \).

Ghép lại vào công thức:

\[
D = 7 + 20 + 16m + 6 - 2m.
\]

Sắp xếp lại:

\[
D = (16m - 2m) + 33 = 14m + 33.
\]

Để ba đường thẳng đồng quy, ta có:

\[
14m + 33 = 0 \implies 14m = -33 \implies m = -\frac{33}{14}.
\]

Vậy giá trị của \( m \) để ba đường thẳng đồng quy là \( m = -\frac{33}{14} \).