Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### Phần a) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành

**Giả thiết:** Hình chữ nhật ABCD với điểm M trên AB và điểm N trên CD sao cho \( AM = CN \).

**Chứng minh:**
1. Về tính chất của hình chữ nhật, chúng ta có:
- \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- \( AB = CD \) và \( AD = BC \).

2. Theo giả thiết, ta có \( AM = CN \).

3. Xét 2 đoạn thẳng \( AM \) và \( CN \):
- Vì \( A \) và \( C \) cùng nằm trên cạnh trái của tứ giác AMCN, và đoạn thẳng \( AB \) là song song với đoạn thẳng \( CD \), nên \( AM \) và \( CN \) đều nằm giữa 2 cạnh song song, vì thế \( MC \parallel AN \).

4. Từ 2 đoạn song song \( AM \, \) và \( CN \) cùng dài bằng nhau, ta có:
\[
AM \parallel CN \quad \text{và} \quad MC \parallel AN
\]
Như vậy, theo tính chất của hình bình hành, tứ giác AMCN là hình bình hành.

### Phần b) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AM và CM. Chứng minh rằng tứ giác DECF là hình thang cân

**Giả thiết:** \( E \) là trung điểm của \( AM \) và \( F \) là trung điểm của \( CM \).

**Chứng minh:**
1. Vì \( E \) và \( F \) là trung điểm của \( AM \) và \( CM \):
- Có \( AE = EM \) và \( CF = FM \).

2. Do \( AM = CN \), suy ra \( AE = \frac{AM}{2} \) và \( CF = \frac{CM}{2} \).

3. Ta sẽ chứng minh các cạnh DE và CF song song:
- Vì \( D \) và \( C \) là các đỉnh của hình chữ nhật nên \( DC \parallel AB\) và \( AB = CD\).
- Như vậy, các đoạn thẳng \( DE \) và \( CF \) đều song song với \( AB \) và \( CD\).

4. Hơn nữa, vì \( E \) là trung điểm của \( AM \) và \( F \) là trung điểm của \( CM \), nên:
- \( DE = EF \) thể hiện qua việc các cạnh dưới đây nằm trên hai đường thẳng song song.

5. Kết luận rằng tứ giác DECF là hình thang cân vì \( DE \parallel CF \) và \( DE = CF \).

### Phần c) Gọi O là tâm đối xứng của hình chữ nhật ABCD, I là hình chiếu của B và D trên CM. Chứng minh rằng tam giác OKI là tam giác cân

**Giả thiết:** \( O \) là tâm đối xứng của hình chữ nhật ABCD, \( I \) lần lượt là hình chiếu của B và D trên CM.

**Chứng minh:**
1. Trong hình chữ nhật, tâm đối xứng \( O \) nằm chính giữa và tạo ra hai cạnh đối diện bằng nhau, tức là \( O \) là trung điểm của các cạnh \( AC \) và \( BD \).

2. Khi điểm B và D được chiếu lên đường thẳng CM, nó sẽ tạo thành các độ dài \( OB \) và \( OD \). Vì \( O \) là tâm của hình, và đường thẳng CM cũng nằm giữa các đoạn thẳng từ các điểm B và D.

3. Ta nói rằng \( I \) là hình chiếu, do vậy:
- \( OB = OD \).

4. Từ đó suy ra rằng các đoạn thẳng này bằng nhau tạo thành tam giác cân tại O.

Kết luận rằng tam giác OKI là tam giác cân.