Cho hình vuông ABCD. Các điểm E và F tương ứng thuộc các cạnh BC và CD sao cho EAF=45độ. Dựng HCN CEGF. EG cắt AF tại M, FG cắt AE tại N

Để chứng minh rằng \( EM = FN \) trong hình vuông \( ABCD \) và các điểm \( E, F \) như đã cho, chúng ta có thể tiến hành làm như sau:

### Bước 1: Vẽ hình

1. Vẽ hình vuông \( ABCD \) với \( A (0, a) \), \( B (a, a) \), \( C (a, 0) \), và \( D (0, 0) \).
2. Chọn điểm \( E \) trên cạnh \( BC \) và điểm \( F \) trên cạnh \( CD \). Giả sử:
- \( E = (a, y) \), với \( 0 \leq y \leq a \).
- \( F = (x, 0) \), với \( 0 \leq x \leq a \).
3. Đặt góc \( EAF = 45^\circ \) tức là góc giữa đoạn thẳng \( AE \) và \( AF \) là 45 độ.

### Bước 2: Tính toán tọa độ \( E \) và \( F \)

Vì \( EAF = 45^\circ \), ta có:

- Độ dốc của đoạn thẳng \( AE \) là \( \frac{y - a}{a - 0} = \frac{y - a}{a} \).
- Độ dốc của đoạn thẳng \( AF \) là \( \frac{0 - a}{x - 0} = \frac{-a}{x} \).

### Bước 3: Thiết lập phương trình:

Vì góc giữa hai đoạn thẳng là 45 độ, ta có:

\[
\left| \frac{y - a}{a} + \frac{a}{x} \right| = 1
\]

Từ đó, ta có thể giải để tìm mối quan hệ giữa \( x \) và \( y \).

### Bước 4: Dựng hình chữ nhật \( CEGF \)

Ta dựng hình chữ nhật \( CEGF \) với:

- Điểm \( G = (x, a) \)
- Điểm \( H = (a, 0) \)

### Bước 5: Tìm M và N

1. Đoạn thẳng \( EG \): Nghiệm phương trình của đoạn thẳng qua \( E \) và \( G \).
2. Đoạn thẳng \( FG \): Nghiệm phương trình của đoạn thẳng qua \( F \) và \( G \).

### Bước 6: Chứng minh \( EM = FN \)

Từ hình vẽ và tính chất của hình vuông, ta có thể thấy rằng do \( EAF \) là 45 độ và hình vuông có đặc tính đối xứng nên khoảng cách từ \( E \) đến \( AF \) sẽ bằng khoảng cách từ \( F \) đến \( AE \).

Cuối cùng, ta có thể sử dụng định lý Pitago để chứng minh rằng:

\[
EM^2 + MN^2 = EN^2
\]
\[
FN^2 + MN^2 = EN^2
\]

Từ đó suy ra:

\[
EM = FN.
\]

Để hoàn thiện, bạn có thể vẽ hình theo các bước trên và thực hiện mọi phép tính cần thiết để đi đến kết luận. Hy vọng hướng dẫn này có thể giúp bạn dễ dàng hơn trong việc giải bài toán!