Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng phần:

### a) Chứng minh rằng \( OP \perp AB \)

Ta có tiếp tuyến \( PA \) và \( PB \) của đường tròn \( (O; R) \). Theo định nghĩa của tiếp tuyến, ta biết rằng đoạn thẳng nối tâm \( O \) với điểm tiếp xúc \( A \) vuông góc với tiếp tuyến \( PA \) tại điểm \( A \). Tương tự, đoạn thẳng \( OB \) vuông góc với tiếp tuyến \( PB \) tại điểm \( B \).

Ta có:

- \( OA \) vuông góc với \( PA \)
- \( OB \) vuông góc với \( PB \)

Điểm \( P \) là điểm bên ngoài đường tròn, và các đoạn thẳng từ \( P \) đến các tiếp điểm \( A \) và \( B \) đều tạo hình thành hình chữ nhật với các đoạn thẳng nối \( O \) và \( P \).

Do đó, \( OP \) sẽ vuông góc với đoạn thẳng \( AB \) (hợp thành hình chóp vuông với đáy là hình chữ nhật), suy ra:

\[
OP \perp AB
\]

### b) Tính \( PA \) và \( PB \)

Biết rằng \( R = 2 \, \text{cm} \) và \( PO = 4 \, \text{cm} \).

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác \( OAP \):

\[
PA^2 + OA^2 = OP^2
\]

Vì \( OA = R = 2 \, \text{cm} \) và \( OP = PO = 4 \, \text{cm} \), ta đã có:

\[
PA^2 + 2^2 = 4^2
\]

Tính toán:

\[
PA^2 + 4 = 16
\]
\[
PA^2 = 12
\]
\[
PA = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \, \text{cm}
\]

Tương tự, vì \( PA = PB \) (bởi vì \( PA \) và \( PB \) có cùng độ dài từ \( P \) đến đường tròn), ta có:

\[
PB = PA = 2\sqrt{3} \, \text{cm}
\]

### Kết luận

- \( PA = PB = 2\sqrt{3} \, \text{cm} \)
- \( OP \perp AB \) được chứng minh.