Để tìm các số nguyên \( x, y, z \) thỏa mãn phương trình

\[
x^2 + y^2 + z^2 = x^2y^2,
\]

ta sẽ phân tích phương trình này.

Trước tiên, ta có thể đưa \( x^2 \) và \( y^2 \) về một bên:

\[
x^2y^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 0.
\]

Ta có thể coi phương trình trên như một đa thức trong \( z^2 \):

\[
z^2 = x^2y^2 - x^2 - y^2.
\]

Điều này có nghĩa là \( x^2y^2 - x^2 - y^2 \) phải là một số không âm để \( z^2 \geq 0 \).

Giờ xét xét các trường hợp cụ thể cho \( x \) và \( y \):

- Nếu \( x = 0 \) hoặc \( y = 0 \), ta có \( z^2 = 0 \), do đó \( z = 0 \). Vậy \( (x, y, z) = (0, k, 0) \) hoặc \( (k, 0, 0) \) với \( k \in \mathbb{Z} \).

Tiếp tục với các giá trị \( x \) và \( y \) khác nhau:

1. **Trường hợp \( x = 1 \)**
- Phương trình thành \( 1 + y^2 + z^2 = y^2 \).
- Từ đó \( z^2 = -1 \) không có nghiệm trong số nguyên.

2. **Trường hợp \( x = 2 \)**
- Phương trình thành \( 4 + y^2 + z^2 = 4y^2 \).
- Ra \( z^2 = 3y^2 - 4 \). Cần \( 3y^2 \geq 4 \) thì \( |y| \geq 2\).

Tiến hành thử các giá trị cho \( y \):

- Nếu \( y = 2 \): \( z^2 = 3 \cdot 4 - 4 = 8 \) ⇒ \( z = \pm 2\sqrt{2} \) không phải số nguyên.
- Nếu \( y = 3 \): \( z^2 = 3 \cdot 9 - 4 = 23 \) không phải số chính phương.

Tiếp tục giải cho các trường hợp khác \( x = 3, 4, \ldots \)

Rút ra từ sự phân tích và thử nghiệm, không có các số nguyên thỏa mãn cho các trường hợp \( x, y > 0 \).

Do đó, nghiệm duy nhất của phương trình này là nghiệm phía trên:

\[
(x, y, z) = (0, k, 0) \text{ hoặc } (k, 0, 0) \text{ với } k \in \mathbb{Z}.
\]