Để giải bài toán này mà không cần phải giải phương trình, ta có thể sử dụng định lý Vieta.

Gọi \( x_1 \) và \( x_2 \) là các nghiệm của phương trình \( x^2 + 5x + 2 = 0 \). Theo định lý Vieta, ta có:

\[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -5,
\]
\[
x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 2.
\]

Bây giờ, ta sẽ tính các biểu thức:

**a)** \( x_1^2 + x_2^2 \):
\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = (-5)^2 - 2 \cdot 2 = 25 - 4 = 21.
\]

**b)** \( x_1^3 + x_2^3 \):
Sử dụng công thức:
\[
x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2).
\]
Ta đã tính được \( x_1^2 + x_2^2 = 21 \), nên:
\[
x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 - x_1 x_2 = 21 - 2 = 19.
\]
Suy ra:
\[
x_1^3 + x_2^3 = (-5)(19) = -95.
\]

**c)** \( |x_1 - x_2| \):
Trong trường hợp này, ta có:
\[
x_1 - x_2 = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} = \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2} = \sqrt{25 - 8} = \sqrt{17}.
\]
Vậy \( |x_1 - x_2| = \sqrt{17} \).

**d)** \( x_1^2 x_2 + x_2^2 x_1 \):
Có thể viết lại biểu thức thành:
\[
x_1^2 x_2 + x_2^2 x_1 = x_1 x_2 (x_1 + x_2) = 2(-5) = -10.
\]

Tóm lại:

- a) \( x_1^2 + x_2^2 = 21 \).
- b) \( x_1^3 + x_2^3 = -95 \).
- c) \( |x_1 - x_2| = \sqrt{17} \).
- d) \( x_1^2 x_2 + x_2^2 x_1 = -10 \).