Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần như sau:

### a) Tính sin góc OAB và số đo AOB

1. **Hình vẽ**:
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn.
- \( B \) là tiếp điểm của đường tròn (O;R) với tiếp tuyến \( Bx \).
- \( A \) là điểm nằm trên tia \( Bx \) sao cho \( OA = 2R \).

2. **Tính độ dài các đoạn**:
- Vì \( OB = R \) (đường kính) và \( OA = 2R \).
- Theo định lý Pitago trong tam giác \( OAB \):
\[
AB^2 = OA^2 - OB^2 = (2R)^2 - R^2 = 4R^2 - R^2 = 3R^2
\]
⇒ \( AB = \sqrt{3}R \)

3. **Tính sin và số đo góc OAB**:
- Xét tam giác vuông \( OAB \) tại \( B \):
\[
\sin OAB = \frac{AB}{OA} = \frac{\sqrt{3}R}{2R} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
- Kết luận: \( \sin OAB = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

4. **Số đo AOB**:
- Từ bảng giá trị lượng giác, ta biết rằng:
\[
\sin OAB = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies OAB = 60^\circ
\]

### b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O)

1. **Điểm C** là điểm thuộc đường tròn (O), nên \( OC = R \).
2. **Xét tam giác OAC**:
- Vì \( AB = AC \) và \( AB \) vuông với \( OB \) (vì \( Bx \) là tiếp tuyến tại \( B \)), suy ra \( OAB \) là 60° và \( OAC \) cũng có góc bằng 60°.
- Trong tam giác \( OAC \), có \( OA = 2R \) và \( OC = R \).
- Ta có:
\[
AC^2 = OA^2 - OC^2 = (2R)^2 - R^2 = 4R^2 - R^2 = 3R^2
\]
⇒ \( AC = \sqrt{3}R \).

3. **Tương quan giữa AB và AC**:
- Ta thấy \( AC = AB \), từ đó \( AC \) cũng vuông góc với \( OB \).
- Do đó, theo tính chất của tiếp tuyến:
\[
AC \text{ là tiếp tuyến tại } C \text{ của đừng tròn (O)}.
\]

### c) Tính BC theo R

1. **Áp dụng định lý Pytago trong tam giác \( ABC \)** (vuông tại \( B \)):
- Cạnh \( AB = \sqrt{3}R \), \( AC = \sqrt{3}R \) và \( BC \) là cạnh không biết.
- Theo định lý Pitago:
\[
AB^2 + BC^2 = AC^2 \implies (\sqrt{3}R)^2 + BC^2 = (\sqrt{3}R)^2
\]
- Từ đó:
\[
3R^2 + BC^2 = 3R^2 \implies BC^2 = 0 \implies BC = 0
\]
- Nên \( BC \) không tính được theo \( R \).

2. **Assertions**:
Ta có thể mô tả các bước và khẳng định rằng vị trí của \( B \) nằm trên đường tròn, và vì \( A \) cách \( O \) khoảng 2R nên nó là một phân đoạn chứ không phải cách tiếp xúc tại điểm \( B \), không có cạnh biên ngoài.

### Kết luận:
- **a)** \( \sin OAB = \frac{\sqrt{3}}{2}, OAB = 60^\circ \)
- **b)** \( AC \) là tiếp tuyến của đường tròn (O).
- **c)** \( BC \) không được tính trên \( R \).