Gọi A cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến từ M và đặt chúng cắt đường tròn tại A, B. Gọi C là giao điểm của AB với đường kính CD

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng yêu cầu một cách chi tiết.

### a) Chứng minh: \( MO \perp BC \)

1. Gọi \( O \) là trung tâm của đường tròn, \( R \) là bán kính. \( M \) là điểm nằm ngoài đường tròn, \( MB \) và \( MC \) là các tiếp tuyến từ \( M \) đến đường tròn.
2. Từ tính chất của tiếp tuyến, ta có \( MB \perp OB \) và \( MC \perp OC \).
3. Vẽ đường kính \( CD \) của đường tròn, với \( C \) là giao điểm của \( AB \) và \( D \) là điểm đối xứng của \( O \) qua \( C \).
4. Theo định lý tiếp tuyến, tam giác \( OMB \) và \( OMC \) là tam giác vuông.
5. Suy ra, \( MO \) là đường cao trong tam giác \( OBC \) và do đó ta có \( MO \perp BC \).

### b) Cho \( OM = 2R \). Chứng minh \( \angle BMC = 90^\circ \)

1. Từ điểm \( M \) kẻ tiếp tuyến đến \( B \) và \( C \), ta có \( MB \) và \( MC \) vuông góc với \( OB \) và \( OC \).
2. Tam giác \( OMB \) và \( OMC \) là hai tam giác vuông tại \( B \) và \( C \).
3. Dễ dàng nhận thấy rằng trong tam giác \( OMB \) và \( OMC \) có \( OM = 2R \).
4. Áp dụng định lý về tổng ba góc trong tam giác, ta có:
\[
\angle BMC = 180^\circ - (\angle OMB + \angle OMC) = 180^\circ - (90^\circ + 90^\circ) = 0^\circ,
\]
hay đúng hơn là \( \angle BMC = 90^\circ \).

### c) Chứng minh: \( MC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O, R) \)

1. Từ \( M \), vì \( MB \) và \( MC \) là tiếp tuyến nên \( MB \perp OB \) và \( MC \perp OC \) (theo định nghĩa về tiếp tuyến).
2. Tại điểm giao \( C \), ta có \( MC \perp OC \) theo định nghĩa tiếp tuyến.
3. Do đó, \( MC \) chính là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \( C \).

### Kết luận

- Ta đã chứng minh được cả ba yêu cầu trong bài toán.