Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước một.

### a) Chứng minh HK // BC:

1. **Cố định các yếu tố**: Gọi A, B, C là ba điểm không đồng thẳng hàng trong mặt phẳng.

2. **Vẽ các điểm D và E**:
- D nằm trên đường thẳng kéo dài của BC sao cho BD = AB.
- E nằm trên đường thẳng kéo dài của CB sao cho CE = AC.

3. **Tính góc**:
- Gọi góc ∠ABH = 90° (vì BH vuông góc với AB).
- Gọi ∠CAK = 90° (vì CK vuông góc với AE).

4. **Chứng minh rằng HK // BC**:
- Xét tổng thể các góc:
- ∠BHK + ∠BCA = ∠ABH (góc vuông) => ∠BHK = ∠ABC
- ∠CKH + ∠CEA = ∠CAK (góc vuông) => ∠CKH = ∠ACB

5. Từ đó, ta có:
- Nếu ∠BHK = ∠ABC và ∠CKH = ∠ACB thì HK sẽ song song với BC theo định lý về góc so le trong của hai đường thẳng cắt nhau.

### b) Tính HK biết chu vi tam giác ABC = 10
Giả sử:

- AB = c
- BC = a
- AC = b

Ta có chu vi ABC:
\[ a + b + c = 10 \]

Bây giờ, ta cần tính chiều dài HK.

- Tam giác DBC có cạnh:
- BD = AB = c
- DBC là tam giác vuông tại B.
- Hai đoạn BD và CE sẽ tạo thành hình chữ nhật, và chiều dài HK bằng chiều dài AC على côtés CE.

Xét tam giác ABE và ACE vuông tại H và K:
\[ HK = BH + CK = c + b \]

- Sử dụng phương trình chu vi:
\[ HK = c + b \]

Vì ta chưa có số liệu cụ thể về các cạnh của tam giác, ta sẽ chỉ có thể nói rằng:
\[ HK = 10 - a \]

### c) Chứng minh HK đi qua trung điểm của AB và AC

- Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC.
- Để chứng minh HK đi qua M và N, ta cần kiểm tra rằng hai đoạn thẳng BH và CK giao nhau tại điểm M và N.

Do BH và CK vuông góc tại H và K, và HK được định nghĩa là khoảnh khắc mà hai đường thẳng này cắt nhau.

- Gọi G là giao điểm của HK, M và N đều nằm trên đường thẳng này nếu ta chứng minh rằng:
- Gọi x là chiều dài đoạn đường thẳng trên tam giác.
- Tổng tương quan giữa các tỉ lệ tương ứng của BG và GC = 1:1 tại trung điểm đường XY.

Khi đó HK sẽ đi qua M và N, từ đó ta có thể kết luận rằng HK cắt M và N.

Tóm lại, với các bước đã được trình bày, chúng ta đã chứng minh được các điểm a, b, và c cho bài toán này.